左右兩邊的截面都是圓，但是面積不同 。半球的截面積需要計算圖中的x，需要使用勾股定理 。
根據(jù)勾股定理，x2=r2－h(huán)2，于是得到截面面積=π(r2－h(huán)2)
右邊的圓柱體的截面面積等于底面積，在圓柱體中構(gòu)造一個倒放的等底同高的圓錐體，觀察上圖，我們發(fā)現(xiàn)：
同高度的圓錐體，球體和圓柱體的截面分別是小圓，中圓和大圓 。而且，大圓－小圓=圓環(huán)=中圓
現(xiàn)在我們來證明 。
圓錐體的截面一個方向是圓，垂直于這個方向的截面是等腰三角形 。這個等腰三角形底邊=d=2r，高=h=r，底邊上的高把這個等腰三角形分為兩個全等的等腰直角三角形，直角邊=r 。因為平行于三角形底邊的直線截的小三角形與原來的三角形是相似三角形，所以小圓的半徑r=高h 。
圓環(huán)的面積=大圓－小圓 。恰好等于：
πr2－πh2=π(r2－h(huán)2)
于是證明了圓環(huán)面積=球體截面面積=中圓面積 。而圓環(huán)面積=圓柱截面面積－圓錐截面面積 。我們知道，相似三角形對應(yīng)線段成比例，所以不論截面高度如何變化，球體截面面積=圓柱截面面積－圓錐截面面積的數(shù)量關(guān)系不變 。
根據(jù)祖暅原理，當(dāng)然有球體體積=圓柱體積－圓錐體體積 。
前面論述了圓錐體積：圓柱體體積=1：3，由此可見，圓錐體積：球體體積：圓柱體體積=1：2：3
一個半球的體積=2個圓錐體體積，所以球體體積=4個圓錐體體積，所以推導(dǎo)出球體體積公式：
V=4/3 πr3
總結(jié)一下：請看下圖
排水法的啟示
阿基米德說：任一球體的體積等于底面積為球體最大圓面積，高為球體半徑的圓錐體體積的4倍 。
寫成公式就是：
V=4/3 πr3=π/6D3
注意，D代表直徑 。
阿基米德的墓碑
拓展一下：
阿基米德說：在圓柱容球模型中，圓柱體的表面積和體積都等于球體的一倍半 。
也就是說，圓柱體體積：球體體積=3：2；圓柱體表面積：球體表面積=3：2 。
圓柱體的表面積很好計算：兩個底面積為2πr2，圓柱體的側(cè)面積是4πr2，合計6πr2 。而球體的表面積恰好等于圓柱體的側(cè)面積 。阿基米德說，任一球體的表面積等于其最大圓之面積的4倍 。6：4化簡后就是3：2，就是阿基米德說的一倍半 。
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