切分三棱柱
一塊三棱柱蛋糕可以用刀如圖切成三個全等的三棱錐，于是得到下面的結(jié)論：
三棱錐的體積是同底同高的棱柱體積的1/3 。
而且還可以此類推，金字塔的體積是同底同高的長方體體積的1/3 。還可以繼續(xù)以此類推，底面是正多邊形的正棱錐體積是同底同高的正多邊形柱體體積的1/3 。
為什么呢？因為正多邊形可以分為幾個全等三角形啊 。
再繼續(xù)推理，得到結(jié)論：
圓錐的體積等于同底同高的圓柱體積的1/3 。
這又是什么道理呢？
有兩種解釋，先說第一種 。
我們知道 。圓錐和同底同高的圓柱體積之間有數(shù)量關(guān)系 。我們暫時還不知道這個體積比是多少，就假設(shè)他們之間的比例為k 。
圓錐體體積：圓柱體體積=kπr2h：πr2h=k
六年級小學(xué)生知道比和比例，也會化簡比 。所以把這個比化簡為：
圓錐體體積：圓柱體體積=kr2h：r2h=k
小學(xué)生都能看懂 。相當(dāng)于一個分數(shù)，分子和分母都同時乘以π的倒數(shù)，就消去π了 。
我們知道，與圓有關(guān)的公式有π，把π消去再一看，這不是變成底面是正方形的長方體體積公式了嗎？
而前面我們已經(jīng)論述了三棱錐的體積是同底同高的棱柱體積的1/3，所以現(xiàn)在我們知道k=1/3 。
于是得到了圓錐體體積公式：
V=1/3 πr2h
現(xiàn)在我們用第二種方法來解釋以此類推的數(shù)學(xué)原理 。
偉大的原理：祖暅原理這要從祖暅原理或者是卡瓦列里原理說起 。
祖暅原理，又名等冪等積定理，內(nèi)容是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等 。祖暅之《綴術(shù)》有云：“緣冪勢既同，則積不容異 。
在西方，直到17世紀，才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)于1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》中，提出了等積原理，所以西方人把它稱之為“卡瓦列里原理” 。其實，他的發(fā)現(xiàn)要比我國的祖暅晚1100多年 。
祖暅[gèng]（456年—536年），一作祖暅之，字景爍，范陽遒縣（今河北淶水）人 。中國南北朝時期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，祖沖之之子 。同父親祖沖之一起圓滿解決了球體積的計算問題，得到正確的體積公式，并據(jù)此提出了著名的“祖暅原理” 。
小學(xué)數(shù)學(xué)課堂如何講解祖暅原理？最簡單的方法是用若干本一模一樣的書摞在一起，形象化演示 。
祖暅原理告訴我們：等底同高的棱錐體積相等 。祖暅原理只要求平行截面的面積相等，不要求這些截面的形狀相同 。所以，根據(jù)祖暅原理，同底同高的圓錐體和金字塔體積相等，從前面的論述知道，同底同高的圓錐體與圓柱體體積之比為1:3 。
還有沒有別的方法證明圓錐體體積公式呢？請看相關(guān)鏈接：【怎樣計算直角三角形重心到直角邊的距離？ – 今日頭條】https://m.toutiao.com/is/eAFR1a3/
這個鏈接告訴我們，怎樣用帕波斯定理計算旋轉(zhuǎn)體體積，推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)體體積公式 。雖然有一定的難度，但是這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的正確姿勢之一 。
祖暅原理威力巨大，掌握了它，解決球體體積也不是難事 。
思維拓展：球體體積公式的推導(dǎo)現(xiàn)在，我們可以走得更遠，推導(dǎo)出球體體積公式 。按照一貫的轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，我們考慮一下怎么降低問題的難度 。球體不好算，就先考慮半球是什么情況 。請看下圖：
半球?qū)Ρ鹊鹊淄邎A柱體
如圖所示，在相同的高度平行底面得到的截面積如何計算呢？
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