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這就是我們所謂的二面角。
在四面體中，四個面兩兩相交，一共形成了六條邊和六個二面角。幾十年來，數(shù)學(xué)家們一直想要搞懂到底什么樣的四面體會有六個有理的二面角。正如上文提到的，如果一個角的度數(shù)是有理數(shù)，那么這就是一個有理角。這等同于在弧度制下，角的大小是一個有理數(shù)乘上π.（從角度轉(zhuǎn)換為弧度，需要將角的大小乘上π/180°，因此如果一個角在角度制下是有理的，那么在弧度制下一定是一個有理數(shù)乘π，反之亦然。）
我們已經(jīng)看到了用有理角構(gòu)造平面三角形是多么簡單。但對于四面體，這個問題要復(fù)雜得多 ?？紤]這個從正方體的一個角切下來的簡單的四面體。

我們立刻可以看出這個四面體有三個二面角是由原來正方體的面構(gòu)成的，因此它們是直角。用棱來指代二面角十分方便。在這個四面體中，棱OA、OB、OC上的二面角都是直角。

如果切割正方體的角度合適，使得OA=OB=OC，那么以AB、AC、BC為棱的二面角大小應(yīng)該相等。我們可以切割正方體使OA=OB=OC=1，接下來就可以計算以BC為棱的二面角大小了。測量二面角大小的關(guān)鍵是作出從BC中點M到O點和A點的線段。
如果我們旋轉(zhuǎn)四面體，從側(cè)面觀察以BC為棱的二面角，這個角會被投影成平面上的∠AMO，∠AMO的大小與原二面角相等。測量∠AMO的大小需要知道線段OA和OM的長度。我們已經(jīng)知道OA = 1，接下來為了知道OM的長度，我們只需進一步考察三角形ΔOCB 。

由于∠BOC是直角，所以我們可以用勾股定理得到BC = √2，由于M是BC中點，所以MC = √2/2 。而ΔOCB不僅僅是直角三角形，由于OB = OC，它還是等腰三角形。這意味著這是一個45—45—90度的三角形，∠OBC和∠OCB都是45° 。ΔOCB是等腰三角形保證了OM垂直于BC，因此ΔOMC也是一個直角三角形。但如果∠OMC = 90°而∠OCB = 45°，三角形內(nèi)角和定理告訴我們∠MOC = 45°，也就是說小三角形ΔOMC也等腰，因此OM = MC = √2/2 。
現(xiàn)在我們終于準備好計算∠AMO的大小了。

tan∠AMO = 1/(√2/2) = 2/√2 = √2
在ΔAMO中，我們知道AO = 1，OM = √2/2 。此外，因為∠AOM是直角，我們可以使用三角函數(shù) 。在直角三角形中，一個角的正切值是它的對邊長度與鄰邊（直角邊）長度之比：
tan∠AMO = 1/(√2/2) = 2/√2 = √2.
因此∠AMO的大小是√2的反正切，也就是arctan√2，這是一個無理數(shù)，所以這個四面體有三個二面角是無理數(shù)大小，它不是我們尋找的有理四面體。然而，盡管它不是我們的目標，這個無理四面體可以告訴我們一些在尋找有理四面體時的重要信息。
要了解這一點，我們來近似計算一下上面無理四面體的二面角的和。通過計算器或者三角函數(shù)表，我們發(fā)現(xiàn)∠AMO大約是54.74° 。
現(xiàn)在我們可以將四面體OABC的六個二面角求和了：三個直角都是90°，另外三個角都等于我們剛才計算的角，因此，這個四面體六個二面角的總和大約是3 × 90° + 3 × 54.74° ≈ 434.22° 。
這就是不一樣的地方。讓我們回到正方體中，不再按照OA = OB = OC的方式切割它，而是在角上切下很薄的一片。