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【金字塔的八大詭異事件 金字塔的秘密有多恐怖】為什么構造三角形簡單，構造四面體就很難呢？
三角形內角和定理使得處理三角形變得很容易 。如果你不依賴這個定理，又會發(fā)生什么呢？
是否存在三個角分別是41°、76°和63°的三角形呢？
答案看起來很簡單 。數(shù)學課上我們學過，“三角形的內角和是180°” 。因為41 + 76 + 63 = 180，所以這樣的三角形是存在的 。
但這個問題遠比看起來的要復雜 。三角形內角和定理告訴我們，在平面歐幾里得幾何中，給定一個三角形，它的內角和是180° 。但我們的問題并沒有給定一個三角形 。恰恰相反，我們的問題是這樣的三角形是否存在 。三角形內角和定理并沒有直接回答這個問題，但它可以幫助我們構造所需的三角形 。
為了滿足三角形內角和定理，三角形的每個角都需要小于180° 。這意味著我們總是可以將其中的兩個角放置在一條線段的同一側 。比如，我們可以把41°的角和76°的角放在線段AB的兩端 。
從點A和點B出發(fā)的兩條射線一定不會平行 。因為歐幾里得幾何要求同旁內角互補——也就是和為180°——的兩條直線平行 。A點和B點處的角不滿足這樣的要求，因此這兩條射線不會平行，而是會相交 。
我們把這兩條射線的交點記作點C，在C點我們又得到了一個角 ?，F(xiàn)在我們可以應用三角形內角和定理了 。第三個角一定是180°-（41°+76°）=63°，因此△ABC就是我們期望中的樣子 。
上邊這段論證可以被推廣，從而說明任意三個和為180°的角可以組成一個三角形 。很顯然，如果以角度制（而不是弧度制）衡量，我們可以很容易地找到三個角都是有理數(shù)的三角形 。先選擇兩個和小于180的有理數(shù)x和y，那么z=180-(x+y)也是有理數(shù) 。而由于x+y+z=180，這三個有理數(shù)角就可以構成一個三角形 。
盡管用有理角構造平面三角形如此簡單，三維中類似的問題卻復雜到世界上最好的一群數(shù)學家們花了幾十年時間才解決 。為什么只增加了一個維度，這類問題就變得如此繁難？想要理解這一點，就要更深入地理解三角形內角和定理 。
在三維空間，這個問題涉及到四面體——它有四個三角形的側面 。你可以把四面體看成三維版的三角形 。在二維空間中，三角形是最簡單的具有平直邊界的封閉圖形，只需三條線段就可以圍成 。在三維中，四面體是最簡單的由平直邊界圍成的封閉圖形，它可以用四個三角形平面構造出來 。
四面體的四個三角形側面就像三角形的三條邊一樣 。但角應該如何對應呢？你可以設想在四面體的四個頂點處各有一個立體角，但在這個問題中我們更關心面與面相交形成的二面角 。
如果你畫出兩個相交的平面，就會發(fā)現(xiàn)有許多角度可以測量，到底應該選擇哪個角來代表這兩個面的夾角呢？
答案是旋轉這兩個相交平面，直到它們看起來就像一個二維的角一樣 。
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