事實上，如果不停地把四面體越切越薄，點P將會越發(fā)靠近點O，以BC為棱的二面角將接近0°，而以PB和PC為棱的二面角都將趨向于90°，所以這些角的和近似為：
90° + 90° + 90° + 90° + 90° + 0° = 450°.
隨著點P靠近點O，四面體的六個二面角之和將會趨近于450°.這意味著二面角之和會發(fā)生變化！在最初的四面體OABC中，六個二面角之和大約是434°，但當我們改變這些角，它們的和也會發(fā)生變化 ?；蛟S在某些層面上，四面體可以被視為三維版的平面三角形，但有一點它們有很大的不同：并不存在一個“四面體二面角和定理”來保證這些角的和是一個常數(shù) 。
這說明我們只能做到保證四面體的二面角和在360°到540°之間 。如果你在尋找有理二面角組成的四面體，這將是個問題 。你不能隨意選擇五個有理角，然后就篤定說第六個角就自然也是有理的 。因為不同于三角形，你并不知道這些二面角的和是多少 。
更糟糕的是，你甚至不知道任意大小的六個二面角是否能組成一個四面體 。考慮五個直角和一個銳角，它們的和在450°到540°之間，確實在四面體允許的范圍之內(nèi) 。但是并不存在由這樣六個角組成的四面體 。如果六個角中的五個都是直角，那么必然有一個面有三個90°二面角 。但是這種情形下，這些面并不能閉合組成四面體：就像平行線一樣，它們永不相交 。
三個直角二面角共享的一個面可以是三棱柱的一部分，但不會是四面體的一部分 。
因此，找到所有可能的有理四面體的問題遠比找到有確定總和的五個或六個有理數(shù)復雜 。除此之外，解決這個問題還需要解一個包含105項的方程，這個方程來自于約翰·康威和安東尼婭·瓊斯1976年的一篇論文 。一些數(shù)學家在2020年完成了這項工作，結(jié)果是對所有有理四面體進行了完整的分類 。
三角形內(nèi)角和定理只是欣賞三角形優(yōu)雅和美麗的眾多原因之一 。對于四面體，缺少這樣一個定理恰恰展現(xiàn)了提升一個維度帶來的美麗與復雜 。
問題
1.正方體二面角之和是多少？
答案
正方體有12條棱，因此有12個二面角，每個角都是九十度，因此和為12 × 90° = 1080°.
2.正四面體六個二面角之和大約是多少？
答案
所有的六個二面角都相等，因此可以作一個合適的直角三角形來計算其中一個二面角的大小 。
正四面體的每個面都是等邊三角形，所以側(cè)面的中線——從頂點到對邊中點的線段——的高度都是√3/2s，其中1/3 × √3/2s是棱長，這是我們所需的直角三角形的斜邊 。底面的中心被稱作形心，它在底面三角形的中線上，距三角形底邊中點1/3 。從四面體頂部的頂點到底面中心的高度為s，這是所求直角三角形的一條直角邊 。因此正四面體兩個側(cè)面所夾二面角的余弦值是(1/3 × √3/2s)/(√3/2s) = 1/3.由于arccos ≈ 70.53°，所以正四面體的六個（相等的）二面角之和大約就是6×70.53° ≈ 423.18°.
3.想象一個放在桌面上的正四面體，當你把最上面的頂點向下按，在四面體逐漸被壓扁的過程中，六個二面角的和如何變化？
答案
在四面體被壓扁的過程中，與底面相接的三個二面角逐漸變成0°，另外三個二面角都趨近于180°，因此和為3 × 0 + 3 × 180° = 540° 。這是四面體二面角和的上限 。為了達到二面角和的最小值，可以將兩條對邊推向?qū)Ψ剑膫€二面角將變成0°，另外兩個將變成180° 。
4.任意四個和為360°的角能否組成一個四邊形？
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