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菲爾茲獎(jiǎng)得主Thurston與龐加萊猜想( 六 )

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菲爾茲獎(jiǎng)得主Thurston與龐加萊猜想


圖8. 兩種不同類型的帶狀裝飾圖案 。| 圖片來(lái)源：Wikipedia
在對(duì)流形的研究中 ， 人們經(jīng)常感興趣的一個(gè)問(wèn)題是如何對(duì)曲面進(jìn)行三角剖分 ， 即在給定的規(guī)則下將曲面分割成三角形 ， 創(chuàng)建三角形網(wǎng)格 。曲面的三角剖分在數(shù)值分析和圖像處理中有重要應(yīng)用 。瑟斯頓研究了一類有趣的二維球面的三角剖分 ， 這種剖分剛好有12個(gè)價(jià)（valence ， 度）為5的頂點(diǎn) ， 其他所有頂點(diǎn)的價(jià)為6 。Branko Grünbaum和Theodore Motzkin證明了在對(duì)偶情形下（與球面上有12個(gè)五邊形和一些六邊形的富勒烯圖相對(duì)應(yīng)） ， 對(duì)于6價(jià)頂點(diǎn)的每一種可能的數(shù)目（1除外） ， 都存在相應(yīng)的三角剖分 。
富勒烯也被稱為戈德堡多面體；這種多面體最近引起了人們的興趣 ， 因?yàn)樾掳l(fā)現(xiàn)的這種多面體的實(shí)例具有高度的對(duì)稱性 ， 并且所有邊長(zhǎng)都相等 。瑟斯頓在這其中的發(fā)現(xiàn)是 ， 具有h個(gè)6價(jià)頂點(diǎn)（h為正整數(shù)）和12個(gè)5價(jià)頂點(diǎn)的不等價(jià)的三角剖分多面體的種類多得出奇 ， 從而給出了一系列有待研究的種類豐富的高度結(jié)構(gòu)化多面體 。他還給出了多種方法構(gòu)造這些多面體 。
瑟斯頓用高度圖像化的方式處理和思考數(shù)學(xué)問(wèn)題 ， 也因此他的一些工作被拍成視頻 ， 有些他還參與了拍攝 。其中一個(gè)視頻講述了瑟斯頓開(kāi)發(fā)的一種結(jié)構(gòu) ， 用來(lái)展示在3維空間里 ， 可以把一個(gè)球體由內(nèi)向外翻轉(zhuǎn) ， 而不會(huì)產(chǎn)生任何折痕和擠壓 ， 這個(gè)過(guò)程被稱為外翻（eversion） 。瑟斯頓的學(xué)術(shù)師祖父Stephen Smale最先證明了這個(gè)驚人的事實(shí)是可能的 。
視頻尚未發(fā)布 ， 暫時(shí)無(wú)法播放
介紹翻轉(zhuǎn)球面的數(shù)學(xué)科普短片“Outside in” ， 由明尼蘇達(dá)大學(xué)的幾何中心（Geometry Center）制作 。陶哲軒在悼念Thurston的文章中曾說(shuō)：“我最喜歡瑟斯頓的一個(gè)成果是他翻轉(zhuǎn)球體的優(yōu)雅方法 ， 也就是平滑地將三維空間中的一個(gè)二維球面內(nèi)外翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái) ， 不能有任何折疊或奇點(diǎn) 。球面外翻可以實(shí)現(xiàn)這一事實(shí)是非常不直觀的 ， 它通常被稱為Smale悖論 ， 因?yàn)?Stephen Smale 第一個(gè)證明了這種外翻是可能的 。然而 ， 在瑟斯頓的方法之前 ， 已知的球面外翻的構(gòu)造相當(dāng)復(fù)雜 。通過(guò)壓縮和扭曲球面 ， 瑟斯頓的方法足夠概念化和幾何化 ， 實(shí)際上可以很有效地用非技術(shù)術(shù)語(yǔ)來(lái)解釋 ?！?br /> 除此之外 ， 幾何中心還制作了關(guān)于紐結(jié)與雙曲空間的短片“Not Knot”（不是紐結(jié) ， 而是紐結(jié)補(bǔ)空間）,以及探索三維空間可能性的“The shape of space” 。從中我們對(duì)Thurston的數(shù)學(xué)研究或許會(huì)有更多更直觀的了解 。（相關(guān)視頻請(qǐng)前往《返樸》觀看）
參考資料
[1] Atiyah, M. et al., Response to "Theoretical Mathematics toward a cultural synthesis of mathematics with theoretical physics, Bulletin of the American Mathematical Society, 30 (1994) 178-207.[2] Conway, J. and H. Burgiel, H., C. Goodman-Strauss, The Symmetry of Things, A K Peters Wellesley, MA, 2008.[3] Gromov, M. and W. Thurston, Pinching constants for hyperbolic manifolds, Invent. Math., 89 (1987) 1-12.[4] Gray, J., Henri Poincaré: A scientific biography. Princeton University Press, Princeton, 2012.[5] Grünbaum, B. and T. Motzkin, The number of hexagons and the simplicity of geodesics on certain polyhedra, Canad. J. Math. 15(1963) 744-751.[6] Jaffe, A. and F. Quinn, "Theoretical Mathematics toward a cultural synthesis of mathematics with theoretical physics, Bulletin of the American Mathematical Society, 29 (1993) 1-13.[7] Malkevitch, J. (ed.), Geometry\'s Future (2nd. edition), COMAP, Bedford, MA, 1991.[8] Thurston, W., Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry, Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982) 357–381.[9] Thurston, W., Hyperbolic structures on 3-manifolds. I. Deformation of acylindrical manifolds. Annals of Math., 124 (1986), 203–246.[10] Thurston, W., On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces. Bull. Amer. Math. Soc., 19 (1988), 417–431.[11] Thurston, W., Mathematical education, Notice of the American Mathematical Society, 37 (1990) 844-850.[12] Thurston, W., On proof and progress in mathematics, Bulletin American Mathematical Society, 30 (1994) 161-177.[13] Thurston, W. and S. Levy (ed.), Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Princeton University Press, Princeton, 1997. (Thurston had privately distributed various versions of his writing and course notes on manifolds. His student Silvio Levy worked with Thurston on turning these notes into this volume.)[14] Schein, S. and J. Gaye, Fourth class of convex equilateral polyhedron with polyhedral symmetry related to fullerenes and viruses, Proceedings of the National Academy of Sciences, 111 (2014) 2920-2925.

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