无码一区二区三区爆白浆久久,亚洲精品综合一区二区三区在线

幾何和拓?fù)鋵W(xué)家對曲面感興趣。我們熟悉各種曲面，比如平面、球面、錐面和甜甜圈（環(huán)面）。流形是一類特殊的曲面，從其上的每一點看來，臨近的區(qū)域都類似歐氏空間。更準(zhǔn)確地說，流形具有如下性質(zhì)：流形（曲面）的每一點都位于一個集合的中心，這個集合拓?fù)涞葍r于一個（開）歐氏球。歐氏球是與給定點的距離小于或等于某個給定實數(shù)r（球的半徑）的點集。它有兩種形式，開球只包含距離嚴(yán)格小于r的點，而閉球還包含距離等于r的點。例如，圓的內(nèi)部是一個2維開球，也稱為開圓。因此， 2維流形是有如下性質(zhì)的曲面，在其每一點都能找到一個（可能的）小集合拓?fù)涞葍r（同胚）于一個位于那一點的開圓。
如果存在從集合X到集合Y的一對一連續(xù)映射函數(shù) ，并且反函數(shù)也是連續(xù)的，則稱X拓?fù)涞葍r或同胚于Y 。從拓?fù)鋵W(xué)的角度看，正方形、五角星、橢圓和歐氏圓都是拓?fù)涞葍r的。請注意，其中一些是光滑曲線，另一些則有角。也有一些人將拓?fù)涿枋鰹橄鹌缀螌W(xué)：如果一個集合不經(jīng)切割或撕裂就能變換為另一個集合，那么兩者就是拓?fù)涞葍r的。簡而言之，同胚是“拓?fù)涞葍r”的專業(yè)術(shù)語。

在拓?fù)鋵W(xué)中，一個杯子和一個甜甜圈（實心環(huán)面）是等價的，一頭母牛和一個球面也是等價的。| 來源：Wikipedia
數(shù)學(xué)家們在研究流形時會尋找那些幫助我們理解流形結(jié)構(gòu)的定理。圖1展示了一系列2維流形，這些曲面（都是有界的）上的任意點的周圍，都有一個小集合等價于一個2維圓內(nèi)部的拓?fù)淇截?。圖中曲面包含的孔的數(shù)量各不相同，中間的曲面有1個孔，我們稱它的虧格為1 。你也許能想出辦法，將中間曲面的多個拷貝連接到左邊的曲面，以得到最右邊的曲面。

圖1. 包含零個孔、一個孔和多個孔的曲面。| 來源：Manifold Atlas Project
應(yīng)該怎樣對流形分類呢？一個自然的選擇是依據(jù)流形的維度，比如上面我們看到了球面和環(huán)面這類經(jīng)常遇到的2維流形。除此之外，還有連通、有界、平滑（可微）和緊致的流形，以及有邊界的流形。所有這些都是用來刻畫特定類型流形的特殊屬性。圖2展示的曲面被稱為3維空間中的褲子。

圖2. 這個曲面被稱為3維空間中的褲子。| 來源：Wikipedia
我們也可以考慮在平面上繪制的褲子，如圖3所示。在不同的設(shè)定下觀察同一個“對象” ，可以幫助我們更深刻地認(rèn)識對復(fù)雜曲面進(jìn)行區(qū)分的一般性原則。請注意，圖中的紅色圓圈不是所關(guān)注的曲面的一部分。如果我們在曲面加上紅圈會發(fā)生什么？每個點仍然是某個拓?fù)鋱A的中心嗎？拓?fù)鋵W(xué)家可能感興趣的問題是，如果將褲子作為部件拼接起來，得到的曲面會有多少種變體。

圖3. 畫在平面上的褲子 | 來源：Wikipedia
數(shù)學(xué)發(fā)展的一個方面體現(xiàn)在，能以某種方式區(qū)分以前認(rèn)為是相同的事物。因此，新的修飾詞不斷被加到流形這個術(shù)語前面，以區(qū)分不同類型的曲面。例如，我們討論2維流形、3維流形、雙曲流形、以及上面提到的各種類型的流形。雙曲流形的每個點周圍的區(qū)域類似某個維數(shù)的雙曲空間 ?？臻g可以用不同的方式區(qū)分，例如曲率。歐氏空間的曲率為零，而雙曲空間則具有負(fù)曲率。在歐氏平面幾何中，經(jīng)過直線外一點有且僅有一條平行線，而在雙曲平面中，經(jīng)過直線外一點有許多條平行線。瑟斯頓的研究領(lǐng)域就包括雙曲流形和空間。