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法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊（1854-1912）是研究曲面拓?fù)湫再|(zhì)的先驅(qū)之一。他發(fā)展了現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的基本思想——同倫與同調(diào)的重要概念。

龐加萊
龐加萊試圖搞清楚拓?fù)鋵W(xué)上等同于高維球面的形狀可以有多么不同，正如早期拓?fù)鋵W(xué)研究者試圖搞清楚簡(jiǎn)單的封閉曲線的形狀可以有多么不同一樣。龐加萊思考了這個(gè)問(wèn)題，并給出一個(gè)猜想，但是并沒(méi)有明確說(shuō)出他認(rèn)為這個(gè)猜想是對(duì)還是錯(cuò)！這個(gè)猜想后來(lái)被稱為龐加萊猜想，用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)表述是這樣：
如果M是封閉的單連通3維流形，則M與3維球面同胚。
這個(gè)猜想形式上的直觀性吸引了許多拓?fù)鋵W(xué)家開(kāi)始研究這個(gè)問(wèn)題，并且發(fā)展出了許多關(guān)于流形的工具，這些工具有希望找到解決這個(gè)問(wèn)題的途徑。這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題引發(fā)了人們的興趣，從而刺激拓?fù)鋵W(xué)取得了重要的進(jìn)展。瑟斯頓在博士工作完成后，對(duì)各種流形，尤其是雙曲流形產(chǎn)生了興趣。關(guān)鍵在于這種流形上的每一點(diǎn)都類似某個(gè)維度的雙曲幾何空間。研究一段時(shí)間后，瑟斯頓提出了一個(gè)猜想，這個(gè)猜想后來(lái)被稱為瑟斯頓幾何化猜想。直觀的想法是，任何封閉的3維流形都可以區(qū)分為8 種類型之一，瑟斯頓對(duì)此給出了明確描述，并進(jìn)行了研究。值得注意的一點(diǎn)是，如果這個(gè)猜想被證明是正確的，那么龐加萊猜想就是它的一個(gè)推論。
瑟斯頓和其他人證明了幾何化猜想的幾種特例是正確的。尤其是，瑟斯頓用非常創(chuàng)新的想法證明了，它對(duì)一類很豐富的流形，也就是哈肯流形成立。哈肯流形以Wolfgang Haken（1928-）的名字命名，他最著名的工作是與Kenneth Appel證明了四色猜想。

比爾·瑟斯頓的照片。留意他運(yùn)動(dòng)衫上的公式！
在19世紀(jì)末20世紀(jì)初，希爾伯特列出了一系列他認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展很重要的問(wèn)題，希爾伯特問(wèn)題引發(fā)了人們的廣泛興趣。后來(lái)的發(fā)展證明了他的眼光！其中許多問(wèn)題已被解決，并衍生出了許多新的數(shù)學(xué)思想，另一些還在繼續(xù)研究。2000年時(shí)克雷數(shù)學(xué)研究所提出了一個(gè)包含7個(gè)問(wèn)題的清單，被稱為千禧年問(wèn)題，并附加了懸賞，解決其中任何一個(gè)問(wèn)題，都能得到一百萬(wàn)美元獎(jiǎng)金！龐加萊猜想就是千禧年問(wèn)題之一。
2002年，佩雷爾曼（Grigori Perelman ， 1966-）公布了一系列論文，聲稱已證明了龐加萊猜想。他解決這個(gè)問(wèn)題的方法就是證明瑟斯頓幾何化猜想。隨后對(duì)他的證明進(jìn)行的嚴(yán)格審查證實(shí) ，他的方法非常具有原創(chuàng)性，并且是正確的。同其他突破性證明方法剛提出時(shí)一樣，佩雷爾曼的方法后來(lái)又被加以完善和改進(jìn) 。在他的證明被確認(rèn)正確之后，他被授予了千禧年獎(jiǎng) ，但他拒絕領(lǐng)獎(jiǎng)！他也被選為 2006 年菲爾茲獎(jiǎng)的得主之一（同Andrei Okounkov、陶哲軒和Wendelin Werner一起），但是他又拒絕了。佩雷爾曼使用的方法部分基于Richard Hamilton 關(guān)于Ricci流的思想。

格里戈里·佩雷爾曼
瑟斯頓的其他貢獻(xiàn)
接下來(lái)我們介紹一下瑟斯頓對(duì)幾何學(xué)的另外兩個(gè)很重要的貢獻(xiàn) 。瑟斯頓推廣流形概念的方法之一是發(fā)展軌形（orbifold ， orbit-manifold的縮寫(xiě)）的概念。瑟斯頓在普林斯頓的同事康威（John Horton Conway ， 1937-2020 ，在剛過(guò)去的4月11日，這位數(shù)學(xué)天才因新冠肺炎不幸離世）發(fā)明了一種實(shí)用的軌形標(biāo)注法，并用來(lái)研究各種曲面的對(duì)稱性 ?？低C明了它可以解釋一個(gè)看似特別神秘的事情——在歐氏條帶上有7種類型的帶狀裝飾（見(jiàn)圖8的示例），在歐氏平面上有17種類型的壁紙圖案 ?？低谄渲惺褂昧塑壭蔚母拍詈突谇妫ㄔ谶@里是歐式平面）的歐拉示性數(shù)的思想，這樣對(duì)數(shù)字7和17的根源就有了一種自然的理解！