曲面的另一個屬性是可定向性 ， 這個概念關(guān)系到能否在曲面上保持一致的方向感 。圖4是著名的莫比烏斯帶 ， 它就是不可定向的 。將長條（例如長30cm、寬5cm）的兩端粘到一起 ， 可以得到圓柱曲面 ， 這是可定向的雙面曲面 。如果將其中一條短邊翻轉(zhuǎn)后再粘到一起 ， 得到的就是莫比烏斯帶 ， 它只有一個面 ， 不可定向 。另外請注意這個曲面有“邊” ， 這一點(diǎn)與球面不同 。
圖4. 不可定向的曲面：莫比烏斯帶 。如果一只螞蟻在莫比烏斯帶上一直向前爬行 ， 它可以從帶子的一面繞到另一面 ， 而無需跨越帶子的邊界 。| 來源：Wikipedia
圖5是著名的克萊因瓶曲面 ， 以它的發(fā)現(xiàn)者Felix Klein的名字命名 ?？巳R因瓶也是不可定向的 ， 而且它不能在沒有自相交的條件下嵌入3維空間 ， 不像莫比斯帶能嵌入3維空間 。
圖5. 克萊因瓶 | 來源：Wikipedia
圖6中不可定向的2維流形是一個被研究得很多的幾何對象——沒有自相交不能嵌入3維空間的實(shí)射影平面 。平面幾何的3種基本類型是歐氏幾何、雙曲幾何（也稱為羅氏幾何）和實(shí)射影平面 。實(shí)射影平面是點(diǎn)和線遵循如下性質(zhì)的一種結(jié)構(gòu) ， 即任意兩條不同的線必須相交于一點(diǎn) 。
圖6. 實(shí)射影平面 | 來源：Wikipedia
在看過一些不同的2維流形曲面的例子之后 ， 我們再看一個不是流形的例子 ， 或許有助于加深理解 。圖7是一個圓錐體的兩個錐盆 ， 它們相交于三條紅線的交點(diǎn) 。在這一點(diǎn) ， 曲面沒有一個以該點(diǎn)為中心的開歐氏球 ， 所有其他的點(diǎn)都很好！不過兩個錐盆分開后卻都是2維流形 。
圖7. 在三條紅線的交點(diǎn) ， 曲面沒有一個以該點(diǎn)為中心的開歐氏球 ， 因而這是一個不是流形的曲面 。| 圖片來源：Wikipedia
順便說一下 ， 也有1維流形 。平面上的圓或開線段就是1維流形 。數(shù)字8或無窮符號∞則不是1維流形 ， 因?yàn)樵谧越稽c(diǎn)處 ， 這兩個集合的局部不是1維開球 。
龐加萊猜想
如何界定一個拓?fù)涞?維歐氏圓？拓?fù)鋱A的一個基本性質(zhì)是它們把平面劃分為三個集合：拓?fù)鋱A上的點(diǎn)、圓內(nèi)部的點(diǎn)和圓外部的點(diǎn) 。簡單的閉合曲線——拓?fù)鋱A的另一個名稱——遵循這個性質(zhì)似乎極為明顯 ， 以至于在很多年里都沒有基于更基礎(chǔ)的幾何學(xué)來證明這是正確的 。最后是法國數(shù)學(xué)家若爾當(dāng)（Camille Jordan ， 1838-1922）付諸行動 ， 這個結(jié)果被稱為若爾當(dāng)曲線定理：簡單閉曲線是拓?fù)鋱A ， 與歐氏圓同胚 。
若爾當(dāng)曲線定理說明 ， 每一條若爾當(dāng)曲線都把平面分成一個“內(nèi)部”區(qū)域和一個“外部”區(qū)域 ， 且任何從一個區(qū)域到另一個區(qū)域的道路都必然在某處與環(huán)路相交 。若爾當(dāng)曲線定理表面上似乎是十分顯然的 ， 但要證明它卻十分困難 。| 來源：Wikipedia
人們最初認(rèn)為 ， 把拓?fù)鋱A的概念推廣到3維空間與球面同胚的曲面是輕而易舉的事情 。然而 ， 數(shù)學(xué)家們逐漸認(rèn)識到 ， 要將圖形的屬性轉(zhuǎn)換到不同維度的空間并不是那么容易 。例如 ， 如果兩個簡單多邊形（多邊形的邊相交的地方是一個頂點(diǎn)）的面積相同 ， 那么總有辦法將其中一個多邊形切割成有限數(shù)量的簡單凸多邊形碎片 ， 然后將這些碎片重新組合成另一個多邊形 ， 就像玩拼圖一樣 。然而 ， 希爾伯特（1862-1943）的一個學(xué)生 ， 也對曲面理論做出了重要貢獻(xiàn)的Max Dehn（1878-1952） ， 證明了這個定理的3維版本并不成立（這也是希爾伯特23個問題中的第三個） 。也就是說 ， 不可能把立方體切割成有限數(shù)量的凸多面體塊 ， 然后重新組裝成同樣體積的正四面體 。因此 ， 研究流形和曲面拓?fù)涞臄?shù)學(xué)家對維度轉(zhuǎn)換后2維對象的基本性質(zhì)能否保留持謹(jǐn)慎態(tài)度 。
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