什么是基數(shù)？基數(shù)指的是啥,我服了網(wǎng)帶你了解相關(guān)信息 。
一．概念描述
現(xiàn)代數(shù)學(xué)：自然數(shù)定義的方式之一 。每一個(gè)有限集合中的元素個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)自然數(shù) 。在同一類有限集合中，它們具有一個(gè)共同的特征，就是所含元素的個(gè)數(shù)相同 。例如，三支鉛筆、三頭牛、三架飛機(jī)是同一類對(duì)等集合，它們的共同特征是3，數(shù)量3就是它們的基數(shù) 。所以，用以表示事物數(shù)量多少的自然數(shù)就是基數(shù) 。一般地說(shuō)，把對(duì)等的有限集合所具有的共同特征，稱為這類對(duì)等集合的基數(shù) 。因此，有限集合的基數(shù)就是自然數(shù) 。但是，自然數(shù)集合是無(wú)限的，對(duì)一切能與自然數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的無(wú)限可數(shù)集合的基數(shù)，規(guī)定為?0（讀作阿勒夫零，?為希伯來(lái)文的第一個(gè)字母） 。有了自然數(shù)的基數(shù)定義，就可定義數(shù)的順序及其四則運(yùn)算，即可建立自然數(shù)的基數(shù)理論，甚至建立自然數(shù)的公理體系 。
小學(xué)數(shù)學(xué)：自然數(shù)有兩方面的含義，用來(lái)表示事物的多少時(shí)，稱為基數(shù)；用來(lái)表示事物的次序時(shí)，稱為序數(shù) ?；鶖?shù)含義從認(rèn)數(shù)1-5已經(jīng)開(kāi)始了，它是結(jié)合認(rèn)數(shù)進(jìn)行的，而序數(shù)含義是在了解了1-5的基數(shù)含義的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的 。
二．概念解讀
最早提出基數(shù)概念的是康托爾，他在1874-1884年引入最原始的集合論（現(xiàn)稱樸素集合論）時(shí)，首次引入基數(shù)概念 。他最先想到的是集合{l，2，3}和{2，3，4}，它們并非相同，但都有相同的基數(shù) 。如此顯而易見(jiàn)的事，又到底為什么兩個(gè)集合擁有相同數(shù)目的元素呢？
康托爾的答案，是所謂一一對(duì)應(yīng)，即把兩個(gè)集合的元素一對(duì)一的聯(lián)系起來(lái)——如果能夠做到，則兩個(gè)集合的基數(shù)自然相同 。這答案雖容易理解但卻是革命性的，因?yàn)橛眠@個(gè)方法可以比較任意集合，包括無(wú)窮集合的大小 。他給出的定義是：兩個(gè)集合有相同的基數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它們等勢(shì) 。這種定義是不嚴(yán)格的，它并沒(méi)有說(shuō)清楚“基數(shù)”究竟是什么，只是指出了基數(shù)相等的充要條件 。
后來(lái)，弗雷格給出基數(shù)的概念：集合x(chóng)的基數(shù)，就是{y：y等勢(shì)于x} 。（比如，自然數(shù)1就定義為{x：x是一元集}） ?？梢宰C明，對(duì)任何x，{y：y等勢(shì)于x}不是一個(gè)集合，而是真類 。
再后來(lái)，馮·諾依曼取得了很大的突破：他首先給出了嚴(yán)格的“序數(shù)”概念（康托爾等人的“序數(shù)定義”很不嚴(yán)格）：序數(shù)就是被∈良序的傳遞集 。在此基礎(chǔ)上，他定義基數(shù)的概念如下：對(duì)于良序集下，x的基數(shù)就是與它等勢(shì)的序數(shù)中的最小者 。
到了20世紀(jì)70年代，斯科特徹底解決了問(wèn)題 。他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)小竅門——現(xiàn)在稱之為“Scott trick”，這種竅門可以把任何一個(gè)類轉(zhuǎn)換成它的一個(gè)指定的子集而不用選擇公理，但必須使用ZF8（正則公理） 。利用這一竅門，非良序集x的基數(shù)就可以定義為：真類{y：y等勢(shì)于x}經(jīng)此竅門轉(zhuǎn)換得到的集合 。與此同時(shí)，斯科特證明了：在既沒(méi)有選擇公理又沒(méi)有正則公理的情況下，“基數(shù)”是不可定義的 。也就是說(shuō)，我們不能定義一個(gè)類函數(shù)F．使得：對(duì)于任意的集合x(chóng)、y，F(xiàn)(x)=F(y)，iff x等勢(shì)于y 。
最后，平卡斯證明了：在沒(méi)有選擇公理的情況下，我們不能定義一個(gè)類函數(shù)F，使得：①對(duì)于任意的集合x(chóng)、y，F(xiàn)（x）=F(y) iff x 等勢(shì)于y；②對(duì)任意的集合x(chóng)，F(xiàn)(x)等勢(shì)于x 。
至此，基數(shù)的定義問(wèn)題徹底解決 。
三．教學(xué)建議
(1)初步體會(huì)自然數(shù)作為基數(shù)的含義
在回答“有幾個(gè)？”時(shí)，學(xué)生先是數(shù)，數(shù)到最后，得出基數(shù) 。他們?cè)谟?jì)數(shù)過(guò)程中必須同時(shí)將有序的自然數(shù)與描述大小的自然數(shù)之間的對(duì)應(yīng)溝通起來(lái)（口中念的數(shù)與被數(shù)的物體——即集合中的元素，對(duì)應(yīng)起來(lái)） 。比如劉鵬老師在教學(xué)“認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)”整理復(fù)習(xí)一課時(shí)，首先為學(xué)生出示了一幅主題圖，然后提問(wèn)：“圖中有幾棵樹(shù)？”當(dāng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)的方法，得出正確答案時(shí)，劉老師又請(qǐng)一名學(xué)生到屏幕前指著畫面中的樹(shù)，一棵一棵地?cái)?shù)一數(shù)，再次進(jìn)行驗(yàn)證，使學(xué)生感受到最后一棵樹(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)6就是這排樹(shù)的總棵樹(shù) 。每棵樹(shù)上都有1只小鳥(niǎo)，共6只鳥(niǎo) 。6棵樹(shù)，6只鳥(niǎo)，它們的數(shù)量都是6，都可以用數(shù)6來(lái)表示 。
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