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編者按
本文介紹半正定規(guī)劃（SDP）的一些應用實例，也包含了一個基于Julia/JuMP使用Mosek求解器的計算實例。通過這篇文章，你將從0/1二次規(guī)劃出發(fā)，了解SDP的理論和建模求解思路。

文章作者：覃含章
責任編輯：覃含章
文章發(fā)表于微信公眾號【運籌OR帷幄】：優(yōu)化 | 半正定規(guī)劃(SDP)的形象理解和基本原理

一SDP實例和一些參考資料SDP有很多有意思的實例，除了作為其特例的線性規(guī)劃（linear programming），比如可以用來刻畫線性系統(tǒng)（linear system）的李雅普諾夫穩(wěn)定性(Lyapunov stability)，可以用來近似0/1二次規(guī)劃（binary quadratic programming）的解，可以用來近似求解圖上的獨立集（independent set）/圖的shannon capacity，帶有特征值的優(yōu)化問題（eigenvalue optimization），復數(shù)域上的插值（interpolation）問題，歐式空間上點的embedding問題，近似求解矩陣補全/帶有nucelar norm的優(yōu)化問題。
實際上，SDP作為一類特殊的凸優(yōu)化問題，有很強的modeling能力。作為目前的研究來說其實更大的瓶頸是在計算，如如何找到泛用的大規(guī)模求解SDP的算法。因為雖然SDP從conic programming的角度來說和LP很像，但是實際上目前對它的一般結構并沒有很好的了解。不像LP，一個實數(shù)域上finite dimensional的polyhedron我們是知道一定由有限個extreme points和extreme rays生成的（這也是著名的Minkowski Resolution Theorem），但對semidefinite cone我們就沒有這樣一般化的結構性定理。
那么不扯遠了，我這邊就不再一個個例子回答，因為如果想要了解如何用SDP去model上述的那些問題并近似求解，看一些參考文獻就很快能比較好的了解了。這里先推薦一些參考讀物。
對SDP零基礎，但有一點點凸優(yōu)化基礎的同學（毫無優(yōu)化基礎的同學就先從Boyd, Vandenberghe的凸優(yōu)化書入手）都可以從這份Robert Freund的講義入門SDP，內(nèi)容非常簡明精悍，同時包含豐富的實例。
Introduction to Semidefinite Programming (SDP), by Robert Freund
（https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-251j-introduction-to-mathematical-programming-fall-2009/readings/MIT6_251JF09_SDP.pdf）
數(shù)學更好一些的同學，尤其是代數(shù)學的比較好的同學，想致力于SDP理論研究的，可以學習Pablo Parrilo等人的參考書。
Semidefinite Optimization and Convex Algebraic
Geometry（http://www.mit.edu/~parrilo/sdocag/index.html）
Prof. Parrilo主頁上也有課程6.256/18.456 – Algebraic techniques and semidefinite programming的一些講義、作業(yè)資料，可以配套學習。矩陣補全問題作為SDP可應用的一個實例，我在以前的知乎回答也有簡單介紹：
矩陣補全（matrix completion）的經(jīng)典算法有哪些？目前比較流行的算法是什么？（
http://www.jinnalai.com/uploads/article/2021/09/29/86268 program的關系，可見我之前的一篇知乎文章：
覃含章：Copositive Programming簡介（
https://shimo.im/docs/j7jWAf7fshQJm3NR/read）
之后我們就以SDP目前一個最為重要的應用為例，在binary二次規(guī)劃（BQP）中來探討如何理解SDP，并且如何利用SDP導出近似算法。之后的內(nèi)容基本都源于Prof. Parrilo的講義資料。
二Binary二次規(guī)劃和半正定松弛BQP的一般形式為，對一個n維的半正定矩陣 Q：