關(guān)于對(duì)偶形式，當(dāng)然最直接的推法是通過對(duì)原SDP (P) 使用拉格朗日對(duì)偶 。那么這邊我們其實(shí)可以稍微靈活一些，我們可以直接對(duì)原來的BQP問題進(jìn)行所謂的拉格朗日松弛（Lagrangian relaxation），這樣讓大家可以更深刻的體會(huì)拉格朗日對(duì)偶可以用來一般化地對(duì)（非凸）連續(xù)最小化優(yōu)化問題求出一個(gè)下界 。
而這就是我們前面的對(duì)偶形式(D)！
本節(jié)最后我們?cè)俳o出一個(gè)概率解釋 。這個(gè)解釋是針對(duì)SDP在原空間上的表達(dá)式的，也就是說跟前面lifting的解釋更加相關(guān) 。我們考慮現(xiàn)在不是確定性地找出最優(yōu)的 x，而只是說需要隨機(jī)地選取 x，使得期望上我們的結(jié)果比較好就可以了 。那么我們BQP的目標(biāo)函數(shù)就變成
三基于SDP的BQP近似算法的bounds：Goemans-Williamson, Nesterov, Grothendieck-Krivine
那么我們就意識(shí)到這里的 Q 其實(shí)是有比較好的結(jié)構(gòu)的，比如理論上來說它有一個(gè)很好的特性：對(duì)角占優(yōu)（diagonally dominant），這樣使得我們的BQP的目標(biāo)函數(shù)具有可分離的結(jié)構(gòu) 。
所謂的Goemans-Williamson rounding就是說對(duì)SDP松弛得到的解（可能是分?jǐn)?shù)）再化整（round)成-1或1 。這是SDP早期，包括到如今為止最成功和漂亮的應(yīng)用之一 。因?yàn)橐赖氖?，?995年他們的paper發(fā)表之前，人們的各種非SDP方法最好就是只能達(dá)到0.5近似而且“卡殼”了許多年，他們基于SDP的方法一下子就將原來的0.5突破到了約0.878 。
即我們基于SDP的Goemans-Williamson rounding能給我們期望上約0.878的一個(gè)近似算法！
注意這邊的結(jié)果比之前是要糟糕的，因?yàn)樽筮吺莻€(gè)等號(hào) 。另外，不那么容易注意的一點(diǎn)是，前面兩種rounding如果碰到SDP直接給出了一個(gè)全是 ±1 的解（最優(yōu)解），rounding是不會(huì)干擾這個(gè)解的（雖然值可能會(huì)變，但仍然是最優(yōu)的），而這邊的話，即使已經(jīng)有了一個(gè)最優(yōu)解，一旦這個(gè)Grothendieck-Krivine rounding一用上馬上就會(huì)把解變差！ （具體原因留給大家思考）
這邊說點(diǎn)題外話，Grothendieck（是的，就是你知道的那位神一般的Grothendieck 。當(dāng)然，這里出現(xiàn)名字的所有人都已經(jīng)夠神的了）這里出現(xiàn)的相關(guān)的工作當(dāng)然不是用來做BQP,SDP的（那會(huì)兒SDP的理論根本都還沒有呢），他只是年輕的時(shí)候在做分析的時(shí)候順便做了這么個(gè)結(jié)果 。后來是被Krivine撿出來并用在這個(gè)bipartite結(jié)構(gòu)的BQP問題里面了 。為了給足Grothendieck credit，把這邊相關(guān)的常數(shù)就叫做Grothendieck constant了 。
對(duì)本節(jié)出現(xiàn)的分析的完整細(xì)節(jié)感興趣的同學(xué)可參閱Parrilo相關(guān)講義和書籍，或者其實(shí)還有個(gè)非常艱深的凸優(yōu)化講義（我所知道的所有凸優(yōu)化教材里最為艱深的：Lectures on Modern Convex Optimization， by Aharon Ben-Tal and Arkadi Nemirovski）和其中所引用的相關(guān)文獻(xiàn) 。
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