正交變換前后兩個矩陣一定相似嗎
正交變換前后兩個矩陣一定相似 。正交變換指存在正交矩陣P，使得P*P-1AP=B，所以A，B相似 。
在數(shù)學(xué)中，矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合，最早來自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣 。這一概念由19世紀英國數(shù)學(xué)家凱利首先提出 。
矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見工具 ， 也常見于統(tǒng)計分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中 。在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計算機科學(xué)中，三維動畫制作也需要用到矩陣 。矩陣的運算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問題 。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應(yīng)用上簡化矩陣的運算 。對一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算算法 。關(guān)于矩陣相關(guān)理論的發(fā)展和應(yīng)用 ， 請參考《矩陣理論》 。在天體物理、量子力學(xué)等領(lǐng)域，也會出現(xiàn)無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣 。
數(shù)值分析的主要分支致力于開發(fā)矩陣計算的有效算法 ， 這是一個已持續(xù)幾個世紀以來的課題，是一個不斷擴大的研究領(lǐng)域 。矩陣分解方法簡化了理論和實際的計算 。針對特定矩陣結(jié)構(gòu)（如稀疏矩陣和近角矩陣）定制的算法在有限元方法和其他計算中加快了計算 。無限矩陣發(fā)生在行星理論和原子理論中 。無限矩陣的一個簡單例子是代表一個函數(shù)的泰勒級數(shù)的導(dǎo)數(shù)算子的矩陣 。
線性代數(shù) 什么是正交變換 為什么經(jīng)過正交變換的矩陣A B是相似的 不改變特征值 特征向量歐幾里得空間V的線性變換σ稱為正交變換,如果它保持向量內(nèi)積不變,即對任意的α,β∈V,都有
(σ(α),σ(β))=(α,β)
正交變換也是相似變換,A經(jīng)過正交變換P變?yōu)锽,則有P-1AP=B,而且還是保距變換.
施密特正交化之后還是特征向量嗎舉個例子來說
矩陣
1, 1,
1, 2
對列向量進行正交化得到
第一列不變?yōu)?1,1)T，第二列=(1,2)T- 3/ 2 * (1,1)T = (-1/2,1/2)T
得到的矩陣
【正交變換前后兩個矩陣一定相似】1, -1/2
1, 1/2
原矩陣特征多項式為(1-s)(2-s)-1 = 1 -3s +s^2
新矩陣特征多項式為(1-s)(1/2-s) +1/2 = 1 -3/2 s +s^2
顯然兩個矩陣特征多項式不等，矩陣不相似
特征值和正慣性指數(shù)的關(guān)系能確定行列式、跡相等；不能確定秩相等 ， 不能確定A～B（相似），不能確定A合同于B 。
① 因為 |A|=λ1 λ2…λn，tr(A)=λ1+λ2+…+λn，所以 |A|=|B| ， tr(A)=tr(B) 。
② 有特征值 λ，不表示A可以～Λ 。
③ 若 A～Λ，可推出 r(A)=非0的 λ 個數(shù) 。
④ 合同需要實對稱矩陣（考研范圍中），λ 相等并不能保證 。
【反例】：此例中，r(A)≠r(B)，且都不可相似對角化，且都不是實對稱矩陣（不可合同） 。
實對稱矩陣一定可以對角化，所以可得A、B相似于同一個對角陣，即 A～Λ～B 。
又因為實對稱，所以逆＝轉(zhuǎn)置 ， 也合同 。
不唯一 。如果是 求得的
那么 ，標準型結(jié)果也就不同 。
標準型的項數(shù)是一定的，該項數(shù)就是非0系數(shù) ， 也就是正負慣性指數(shù)；正負慣性指數(shù)之和就是 二次型 的秩，也即。
注：如果A可以相似對角化，那么秩就是非零特征值的個數(shù)（正負慣性指數(shù)之和） 。
。
可逆線性變換不改變正負慣性指數(shù) ， 經(jīng)過變換得到的標準型，其對角線元素不一定是特征值！雖然二次型可以通過可逆線性變換（配方法），變成這樣的對角陣，但是標準型有很多個，也就是有很多這樣的對角陣；特征值是確定的，所以這些可逆線性變換得到的標準型，都不可以求出特征值 。
特征值的求法：因為這些標準型與特征值無關(guān)，所以不能根據(jù)它們寫特征多項式 ， 而應(yīng)該回到最初的二次型（實對稱矩陣A），用特征方程做 。
經(jīng)典坑位：若兩個二次型的標準形相同，則兩個二次型對應(yīng)的矩陣的特征值相同（ ）
正交變換就是在特征值的基礎(chǔ)上做的，其結(jié)果得到的標準型，也就是特征值拼出的對角陣 。諸多可逆線性變換中，只有正交變換得到的標準型，對角線元素，才是特征值 。
確定什么？ 可以確定慣性指數(shù)相同，也即二次型平方項的系數(shù)正、負個數(shù)相等，或是正特征值、負特征值的個數(shù)相同 。
不能確定什么？ 不能確定特征值 。
，是因為慣性定理，決定了對于同一個二次型的不同標準型，正、負慣性指數(shù)p、q是一定的，而規(guī)范型是系數(shù)只有1、-1、0的情況 。此時說唯一，是不考慮二次型的變量順序的，比如可以都規(guī)定寫的順序是1，-1，0 。
同一個規(guī)范型可能有多個標準型 。
同一個標準型 ， 不可能對應(yīng)多個規(guī)范型 。因為標準型的慣性指數(shù)是確定的 。
兩個二次型（或者實對稱矩陣）合同的充要條件是有相同的正負慣性指數(shù) ， 或有相同的秩及正（負）慣性指數(shù)
即規(guī)范型相同對應(yīng)的不同矩陣是合同的 。
（相似 ， 合同條件要高）
相似必等價，等價未必相似 。（矩陣相似是秩相等的充分非必要條件）
合同必等價，等價未必合同 。（等價秩相同但未必是實對稱矩陣）
（使用正交變換得到的相似或合同時，相似與合同一致）
經(jīng)正交變換后 ， 兩矩陣相似，則必合同 。
經(jīng)正交變換后，兩矩陣合同，則必相似 。
一般矩陣不適用 。但實對稱矩陣，一定可以相似對角化，所以特征值相同時，A ~ B ， 此時也合同
若相似，其特征值相同 ， 所以p、q相同，必可以合同 。
若合同，保證了正、負系數(shù)的個數(shù)相同，此時雖然可以相似對角化 ， 但各自具體的特征值不一定相同，所以推不出A、B相似 。
【例】對角矩陣2E合同于單位矩陣 E，而 E 只能和 E 相似 ， 顯然2E不相似于E（因為特征值不同） 。
注：普通矩陣沒有說相似一定合同，因為只在對稱矩陣的時候 ， 我們才討論合同 。
矩陣A可逆，它的秩為n，因為矩陣的秩與它是否有n個線性無關(guān)的特征向量是沒有關(guān)系的，所以不一定可相似對角化
比如說一個三階矩陣有三個不同的特征值2,1,0,則該矩陣一定可以對角化,有3個線性無關(guān)的特征向量,但它只有2個非零特征值,故對角矩陣的秩為2.而不是3
再比如一個三階矩陣有三個不同的特征值2,1,3,則該矩陣一定可以對角化,必有3個線性無關(guān)的特征向量,它有3個非零特征值,它的秩為3
線性方程組Ax=0有n個線性無關(guān)的解向量，矩陣A列滿秩,方程組唯一0解 ， 要從線性方程組的角度取看是否可以相似對角化的問題
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