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常見的三種初等矩陣【常見的三種初等矩陣，矩陣的三種初等變換是什么】

交換矩陣的兩行（對調i，j，兩行記為ri ， rj）；以一個非零數(shù)k乘矩陣的某一行所有元素（第i行乘以k記為ri×k）；把矩陣的某一行所有元素乘以一個數(shù)k后加到另一行對應的元素（第j行乘以k加到第i行記為ri+krj）。這三種初等變換都不會改變一個方陣A的行列式的非零性，所以如果一個矩陣是方陣，我們可以通過看初等變換后的矩陣是否可逆，來判斷原矩陣是否可逆 ?？梢钥闯觯仃嚨?種初等變換都是可逆的，且其逆變換也是同一種類型的初等變換。
矩陣的三種初等變換是什么交換兩行（或兩列），交換變換
某行（列）k 倍，倍乘變換
某行（列）k 倍加到另一行（列），倍加變換
把矩陣的某一行所有元素乘以一個數(shù)k后加到另一行對應的元素(第j行乘以k加到第i行記為ri+krj) 。
類似地，把以上的“行”改為“列”便得到矩陣初等變換的定義，把對應的記號“r”換為“c” 。矩陣的初等行變換與初等列變換合稱為矩陣的初等變換。
擴展資料：
初等變換都不會改變一個方陣A的行列式的非零性，所以如果一個矩陣是方陣，我們可以通過看初等變換后的矩陣是否可逆，來判斷原矩陣是否可逆。可以看出，矩陣的3種初等變換都是可逆的，且其逆變換也是同一種類型的初等變換。
這只是矩陣初等變換的一個小小的應用，它在線性代數(shù)中的更重要的應用主要體現(xiàn)于以下幾點：求矩陣的秩，求向量組的極大無關組、秩，求解線性方程組，求多項式的最大公因式等。
什么是初等矩陣初等矩陣是指，由單位矩陣經過一次矩陣初等變換得到的矩陣。
初等變換有三種
（1）交換矩陣中某兩行（列）的位置；
（2）用一個非零常數(shù)k乘以矩陣的某一行（列）；
（3）將矩陣的某一行（列）乘以常數(shù)k后加到另一行（列）上去。
三類初等矩陣都是可逆矩陣，即非奇異陣。
列舉三個不同變換類型的初等矩陣1、首先：初等矩陣都可逆；
2、其次，初等矩陣的逆矩陣其實是一個同類型的初等矩陣（可看作逆變換）。
3、初等矩陣是由單位矩陣經過一次三種矩陣初等變換得到的矩陣。初等矩陣的模樣可以寫一個3階或者4階的單位矩陣。初等變換有三種：
（1）交換矩陣中某兩行（列）的位置；
（2）用一個非零常數(shù)k乘以矩陣的某一行（列）；
（3）將矩陣的某一行（列）乘以常數(shù)k后加到另一行（列）上去。
擴展資料：
初等矩陣的應用：
1、在解線性方程組中的應用
初等行變換不影響線性方程組的解，也可用于高斯消元法，用于逐漸將系數(shù)矩陣化為標準形。初等行變換不改變矩陣的核（故不改變解集），但改變了矩陣的像。反過來，初等列變換沒有改變像卻改變了核。
2、用于求解一個矩陣的逆矩陣
有的時候，當矩陣的階數(shù)比較高的時候，使用其行列式的值和伴隨矩陣求解其逆矩陣會產生較大的計算量。這時，通常使用將原矩陣和相同行數(shù)（也等于列數(shù)）的單位矩陣并排，再使用初等變換的方法將這個并排矩陣的左邊化為單位矩陣，這時，右邊的矩陣即為原矩陣的逆矩陣。
什么是初等矩陣初等矩陣是指得通過對單位陣行列初等變換可以得到的矩陣，判斷依據(jù)有:
1、對于實單位矩陣進行初等變換,得到的結果一定是實矩陣，所以凡事有變量和復數(shù)的都不是實數(shù)域下的初等矩陣，但是要注意如果題目當中注明了某個符號代表常數(shù)則符號按照常數(shù)處理。
2、初等變換不改變矩陣的秩，單位陣一定是滿秩的.所以初等矩陣一定滿秩，判斷行列式的值是否為0或者行列式是否滿秩即可。

擴展資料：
1、在解線性方程組中的應用
初等行變換不影響線性方程組的解，也可用于高斯消元法，用于逐漸將系數(shù)矩陣化為標準形式。初等行變換不改變矩陣的核，但改變了矩陣的像。反過來，初等列變換沒有改變像卻改變了核。
2、用于求解一個矩陣的逆矩陣
有的時候，當矩陣的階數(shù)比較高的時候，使用其行列式的值和伴隨矩陣求解其逆矩陣會產生較大的計算量。這時，通常使用將原矩陣和相同行數(shù)的單位矩陣并排，再使用初等變換的方法將這個并排矩陣的左邊化為單位矩陣，這時，右邊的矩陣即為原矩陣的逆矩陣。