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#頭條創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽#
【cosx^4dx的不定積分 cos4x的不定積分】高等數(shù)學不定積分最基礎也最重要的定理，叫做“和的線性法則”，學完之后，你就會解大多數(shù)的不定積分了。

定理的內(nèi)容是這樣的：若函數(shù)f與g在區(qū)間I上都存在原函數(shù)，k1,k2為兩個任意常數(shù)，則k1f+k2g在I上也存在原函數(shù)，且∫(k1f+k2g)dx=k1∫fdx+k2∫gdx.
這是由“函數(shù)和的求導法則”決定的。因為兩個不定積分和的導數(shù)等于各自的導數(shù)的和，而求導和積分是一個互逆的過程，所以結(jié)果等于被積函數(shù)，因此和的原函數(shù)等于原函數(shù)的和。
這個定理還可以拓廣到多加式的情形，形成和的線性法則，即幾個函數(shù)和的原函數(shù)，等于各個函數(shù)的原函數(shù)的和。有了這個定理，結(jié)合老黃上一篇作品分享的常用積分公式。我們就可以解決大多數(shù)不定積分了。

比如，下面這幾個不定積分，都可以利用線性法則來解決。
(1)求∫p(x)dx, p(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an; (2)∫(x^4+1)/(x^2+1)dx;
(3)∫dx/((cosx)^2(sinx)^2)；(4)∫cos3x·sinxdx；(5)∫(10^x-10^(-x))^2dx.
解：(1)∫p(x)dx=a_0/(n+1)xn+1+a_1/nxn+…+a_(n-1)/nx2+anx+C. 【求多項式函數(shù)的原函數(shù) 。利用它，我們可以把冪函數(shù)的不定積分公式復習個遍。因為多項式是和的概念，所以它的原函數(shù)等于各個項的原函數(shù)的和，根據(jù)冪函數(shù)的不定積分公式：指數(shù)加1，加1的指數(shù)做分母，并且保留前面的系數(shù) ，就可以得到多項式的不定積分了。注意，雖然每個項的原函數(shù)都有一個常數(shù)項C，不過不論有多少個常數(shù) ，它們的和仍是常數(shù)C ，所以以后這種情況下，都只需要保留一個C就足夠了 ?！?br /> (2)∫(x^4+1)/(x^2+1)dx=∫(x^2-1+2/(x^2+1))dx 【求分式函數(shù)的原函數(shù)，可以把分式函數(shù)化為三個函數(shù)的和，分后分別求每個函數(shù)的原函數(shù) 。其中涉及到原函數(shù)是反正切函數(shù)的不定積分 ?！?br /> =∫x^2dx-∫dx+∫2/(x^2+1)dx=x^3/3 -x+2arctanx+C.
(3)∫dx/((cosx)^2(sinx)^2) =∫(1/(cosx)^2+1/(sinx)^2)dx 【三角函數(shù)相關(guān)的不定積分，關(guān)鍵是三角函數(shù)的公式要嫻熟】
=∫(secx)^2dx+∫(cscx)^2dx= tanx-cotx+C.
(4)∫cos3x·sinxdx=1/2*∫(sin4x-sin2x)dx 【利用了正弦差公式】
= 1/2*∫sin4xdx- 1/2*∫sin2xdx=-1/8*cos4x+1/4*cos2x+C.
(5)∫(10^x-10^(-x))^2dx=∫(100^x-2+100^(-x))dx【完全平方公式直接展開】
=∫100^xdx-∫2dx +∫100^(-x)dx=100^x/ln100-2x+100^(-x)/(-ln100)+C
=(10^2x-10^(-2x))/(2ln10)-2x+C.