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撰文 | Patrick Honner
翻譯 | C&C
審校 | 藏癡
如果你一直關(guān)注這個(gè)月的數(shù)學(xué)新聞，你就會(huì)知道35歲的數(shù)論家詹姆斯·梅納德（James Maynard）獲得了菲爾茲獎(jiǎng)——數(shù)學(xué)家的最高榮譽(yù) 。據(jù)新聞報(bào)道，梅納德喜歡的數(shù)學(xué)問題“簡單到足以向高中生解釋，但卻足以難倒數(shù)學(xué)家?guī)讉€(gè)世紀(jì)”，其中一個(gè)簡單的問題是：當(dāng)你沿著數(shù)軸移動(dòng)時(shí)，總會(huì)有靠在一起的質(zhì)數(shù)嗎？
你可能已經(jīng)注意到數(shù)學(xué)家對(duì)質(zhì)數(shù)很著迷。是什么吸引了他們？也許是因?yàn)橘|(zhì)數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中一些最基本的結(jié)構(gòu)和奧秘。質(zhì)數(shù)描繪了乘法的世界，它允許我們用唯一的因式分解來分類每一個(gè)數(shù)字。但是，即使人類從乘法誕生之初就開始研究質(zhì)數(shù) ，我們?nèi)匀徊淮_定質(zhì)數(shù)會(huì)出現(xiàn)在哪里，它們的分布范圍有多廣，或者它們的距離有多近。就我們所知，質(zhì)數(shù)的分布沒有簡單的規(guī)律。
我們對(duì)這些基本概念的迷戀導(dǎo)致了數(shù)百種不同類型質(zhì)數(shù)的發(fā)明或發(fā)現(xiàn)：梅森質(zhì)數(shù)(2^?-1形式的質(zhì)數(shù)) ，平衡質(zhì)數(shù) (兩個(gè)相鄰質(zhì)數(shù)的平均值) ，索菲·日爾曼質(zhì)數(shù)（p是質(zhì)數(shù)同時(shí)2p + 1也是質(zhì)數(shù)），如此等等。

人們對(duì)這些特殊質(zhì)數(shù)的興趣源于對(duì)數(shù)字的研究和新發(fā)現(xiàn)的獲得。“數(shù)位敏感質(zhì)數(shù) (digitally delicate primes) ”也是如此。最近，數(shù)位敏感質(zhì)數(shù)產(chǎn)生了一些關(guān)于最基本問題的驚人結(jié)果：某些類型質(zhì)數(shù)的出現(xiàn)頻率到底有多少？

注意q不可能在上面的質(zhì)數(shù)列表中，因?yàn)樗攘斜碇兴械臄?shù)都大。所以如果存在一個(gè)有限的質(zhì)數(shù)列表，那么q就不是質(zhì)數(shù) 。但如果q不是質(zhì)數(shù)，那么它一定能被除它和1以外的數(shù)整除。反過來，這意味著q一定能被列表中的某個(gè)質(zhì)數(shù)整除，但由于q的構(gòu)造方式，q除以鏈表上的任何數(shù)，余數(shù)都是1 。顯然q既不是質(zhì)數(shù)也不能被任何質(zhì)數(shù)整除，出現(xiàn)這樣矛盾的原因是假設(shè)質(zhì)數(shù)數(shù)量有限。因此，為了避免這個(gè)矛盾，實(shí)際上必須有無窮多個(gè)質(zhì)數(shù) 。
【113是不是質(zhì)數(shù) 113是質(zhì)數(shù)嗎】考慮到質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)，你可能會(huì)認(rèn)為所有種類的質(zhì)數(shù)都很容易找到，但數(shù)學(xué)家接下來要學(xué)習(xí)的一件事是質(zhì)數(shù)可以有多分散。一個(gè)被稱為質(zhì)數(shù)間隙的關(guān)于相鄰質(zhì)數(shù)之間間隔的簡單結(jié)果，說明了一些令人驚訝的事情。
前10個(gè)質(zhì)數(shù)——2、3、5、7、11、13、17、19、23和29——之中，你可以看到由一個(gè)或多個(gè)合數(shù) (不是質(zhì)數(shù)的數(shù)，如4、12或27) 組成的空隙。你可以通過計(jì)算其中合數(shù)的數(shù)目來測量這些間隙：例如，在2和3之間有一個(gè)尺寸為0的間隙，在3和5、5和7之間有一個(gè)尺寸為1的間隙，在7和11之間有一個(gè)尺寸為3的間隙，等等。這個(gè)列表中最大的間隙是23和29之間的5個(gè)合數(shù)——24、25、26、27和28 。
現(xiàn)在讓我們看看一個(gè)令人難以置信的結(jié)果：質(zhì)數(shù)間隙可以是任意長的。這意味著存在相鄰的質(zhì)數(shù)，它們之間的距離是無窮遠(yuǎn) 。也許同樣令人難以置信的是，這個(gè)事實(shí)非常容易被證明。
我們上面已經(jīng)有了一個(gè)長度為5的質(zhì)數(shù)間隙。會(huì)有長度為6的嗎？我們不必尋找質(zhì)數(shù)表來找到這樣的例子，我們可以自己構(gòu)造一個(gè) 。為此，我們將使用基本算術(shù)公式中使用的階乘函數(shù)：根據(jù)定義，整數(shù)n的階乘n!=n×(n?1)×(n?2)×…×3×2×1，例如3!= 3×2×1=6和5!=5×4×3×2×1=120 。
現(xiàn)在讓我們來構(gòu)造我們想要的質(zhì)數(shù)間隙 ?？紤]以下連續(xù)的數(shù)字序列：
7!+2 ， 7!+3，7!+4，7!+5，7!+6， 7!+7