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因為7!=7×6×5×4×3×2×1，我們序列中的第一個數(shù)字，7!+2可以被2整除，你可以通過分解看出:
7!+2=7×6×5×4×3×2×1+2=2(7×6×5×4×3×1+1).
同樣，第二個數(shù)字，7!+3 ，能被3整除，因為 :
7!+3=7×6×5×4×3×2×1+3=3(7×6×5×4×2×1+1).
同樣，7!+ 4能被4整除， 7!+ 5能被5整除， 7 !+ 6能被6整除，還有7!+ 7 能被7整除，因此7! + 2 ， 7! + 3， 7! + 4，7! + 5， 7! + 6，7! + 7是六個連續(xù)的合數(shù) 。我們的質(zhì)數(shù)間隙至少是6 。這種策略很容易概括。序列 n!+2，n!+3 ， n!+4， …，n!+n是一個由n?1個連續(xù)合數(shù)組成的序列，這意味著，對于任何n，存在一個長度至少為n?1的質(zhì)數(shù)間隙。
這表明存在著任意長的質(zhì)數(shù)間隙，所以在自然數(shù)列表中，有一些地方離最近的質(zhì)數(shù)相差了100個， 1000個，甚至10億個數(shù)字。
從這些結(jié)果中可以看出一種典型的矛盾。質(zhì)數(shù)有無窮多個，而連續(xù)的質(zhì)數(shù)也可以相距無窮遠(yuǎn) 。更重要的是，有無限多個相鄰的質(zhì)數(shù) 。大約10年前，張益唐的開創(chuàng)性工作引發(fā)了一場縮小間隙和證明孿生質(zhì)數(shù)猜想的競賽。孿生質(zhì)數(shù)猜想斷言，有無窮多對相差僅為2的質(zhì)數(shù) 。孿生質(zhì)數(shù)猜想是數(shù)學(xué)中最著名的開放問題之一，詹姆斯·梅納德（James Maynard）為證明這一難以捉摸的結(jié)果做出了自己的重大貢獻(xiàn) 。
這種矛盾也出現(xiàn)在最近關(guān)于所謂的數(shù)位敏感質(zhì)數(shù)的研究結(jié)果中。為了了解這些數(shù)字是什么，以及它們可能出現(xiàn)的位置，請花點時間思考下面這個奇怪的問題：有沒有一種兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)，只要其中一位數(shù)有所變化，就一定會成為合數(shù)？
為了了解數(shù)位敏感，我們來試試數(shù)字23 。我們知道它是個質(zhì)數(shù)，但如果你改變它的個位數(shù)會怎樣？20、22、24、26、28都是偶數(shù)，因此是合數(shù)；21能被3整除，25能被5整除， 27能被9整除。到目前為止，一切順利。但如果把個位換成9，得到29，仍然是質(zhì)數(shù) 。所以23不是我們要找的質(zhì)數(shù) 。
37呢？正如我們上面看到的，我們不需要檢查偶數(shù)或以5結(jié)尾的數(shù) ，所以我們只檢查31、33和39 。31也是質(zhì)數(shù)，所以37也不行。
這樣的數(shù)字存在嗎？答案是肯定的，但我們必須一直算到97才能找到它：97是質(zhì)數(shù)，但91 (能被7整除)、93 (能被3整除) 和99 (也能被3整除) 都是合數(shù)，除此之外就是偶數(shù)和95 。
如果你把質(zhì)數(shù)的任何一個數(shù)字換成其他數(shù)字，它就不再是質(zhì)數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)就是“敏感的” 。到目前為止，我們看到97在個位數(shù)字上很敏感——因為改變那個數(shù)字總是產(chǎn)生合數(shù)——但是97滿足數(shù)位敏感的全部標(biāo)準(zhǔn)嗎？答案是否定的，因為如果把十位數(shù)字改成1，得到17，一個質(zhì)數(shù) 。(注意37、47和67也都是質(zhì)數(shù) 。)
事實上，沒有兩位數(shù)的數(shù)位敏感質(zhì)數(shù) 。下表列出了所有兩位數(shù)的數(shù)字，其中質(zhì)數(shù)被標(biāo)記出來。

同一行中的所有數(shù)都有相同的十位，同一列中的所有數(shù)都有相同的個位。97是它所處的這一行中唯一一個帶陰影的數(shù)字，這說明它在個位上很敏感，但它不是這一列的唯一質(zhì)數(shù)，這意味著它在十位上不敏感。
數(shù)位敏感的兩位數(shù)質(zhì)數(shù)必須是其行和列中唯一的質(zhì)數(shù) 。如表所示，不存在這樣的兩位數(shù)質(zhì)數(shù) 。那么一個數(shù)位敏感的三位數(shù)質(zhì)數(shù)呢？下面是一個類似的表格，顯示了100到199之間的三位數(shù)質(zhì)數(shù)的布局，其中的合數(shù)被省略了。

這里我們看到113獨自占據(jù)一行，這意味著它在個位數(shù)上很敏感。但是113并不在它自己獨占的一列中，所以對十位數(shù)字進(jìn)行一些修改(比如將十位改為0得到103或改為6得到163)就產(chǎn)生了質(zhì)數(shù) 。由于沒有一個數(shù)字獨自在一行以及一列中，因此我們很快就會發(fā)現(xiàn)：如果你改變某個三位數(shù)的個位或十位數(shù)字，沒有誰一定是合數(shù) 。這意味著不可能有三位數(shù)的數(shù)位敏感質(zhì)數(shù) 。注意，我們甚至沒有檢查百位。要真正做到數(shù)位敏感，一個三位數(shù)的數(shù)字必須在三維表格中避開三個方向的質(zhì)數(shù) 。