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“當然沒問題！”房東說，他將原來住在N1房間的房客移到N2房間，N2房間的房客移到N3房間，N3移到N4 ，如此類推……最終新房客住進了N1房間，一切都好。
我們再來想象一家擁有無限多房間的賓館，房間全部住滿，然后來了無限多數(shù)量的新房客詢問房間。
“當然，先生們，”房東說“稍等一下即好 ?！彼麑1房間的房客移到N2，N2房間的移到N4 ， N3的移到N6，如此類推……
“這樣一來所有奇數(shù)號的房間都空出來了，無限多數(shù)目的房客就可以入住了 ?！?br /> 當然，因為身處世界大戰(zhàn)之中，即使是在華盛頓也很難想象希爾伯特所描述的情況，但這個例子舉得恰到好處，它告訴我們無窮大數(shù)的性質(zhì)與普通數(shù)字的算數(shù)法則大不相同。
根據(jù)康托爾的比較兩個無窮大數(shù)的法則，我們還能證明所有的普通算數(shù)分數(shù)，如

或

的數(shù)目與所有的整數(shù)的數(shù)目相同。事實上我們可以使用下面的規(guī)則來排列分數(shù)：我們先寫下分子和分母之和為2的分數(shù)，即

；然后是和為3的分數(shù)：

和

；然后是和為4的分數(shù)：

，

，如此往下。按照這樣的方式操作我們就能得到一列包含所有能想到的分數(shù)的數(shù)列（圖5）。現(xiàn)在在這個數(shù)列之上寫下整數(shù)的數(shù)列，你會發(fā)現(xiàn)這兩個數(shù)列是一一對應(yīng)的。這說明分數(shù)和整數(shù)的數(shù)量是一樣多的！

一名非洲土著和喬治·康托爾教授正在比較超過他們計數(shù)能力的數(shù)字。
“嗯，這很棒， ”你會說，“但這不就表明所有的無窮大數(shù)都相等了嗎？如此一來，這還有什么可比性嗎？”
不，事情并不是這樣的，人們很容易找出比所有整數(shù)或者分數(shù)的數(shù)目更大的無窮大數(shù) 。
事實上，如果考慮一下本章前面提到的一條線段上的點的數(shù)目與所有整數(shù)的數(shù)目的比較，我們會發(fā)現(xiàn)這兩個無窮大是不一樣大的，一條線段上的點的數(shù)目要比整數(shù)或分數(shù)的數(shù)目多得多。為證明這一點，我們嘗試建立一條1英寸長的線段上的所有點和整數(shù)數(shù)列的一一對應(yīng)的關(guān)系。
這條線段上的每一點都可以描述成這一點到線段的末尾的距離，而這個距離可以寫成無限小數(shù)的形式，如0.735 062 478 005 6…或0.382 503 756 32…[15] 。因而我們需要比較所有整數(shù)的數(shù)目和這些所有可能的無限小數(shù)的數(shù)目。那么上面給出的無限小數(shù)和普通算數(shù)分數(shù) ，例如

或