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，

=0.428571|428571|428571|4…=

。我們已經(jīng)通過上文證明了所有普通算數(shù)分?jǐn)?shù)的數(shù)目與所有整數(shù)的數(shù)目相同，所以所有無限循環(huán)小數(shù)的數(shù)目與所有整數(shù)的數(shù)目相同。但是線段上的點(diǎn)并不只是對應(yīng)無限循環(huán)小數(shù) ，在大部分情況下我們得到的無限小數(shù)里的數(shù)字沒有任何規(guī)律可言。顯然這輕易就證明了“一一對應(yīng)的關(guān)系”是無法得到的。
假設(shè)有人聲稱建立了這樣的對應(yīng)關(guān)系，并且它長得像這樣：
N
1 0.386 025 630 78…
2 0.573 507 620 50…
3 0.993 567 532 07…
4 0.257 632 004 56…
5 0.000 053 205 62…
6 0.990 356 385 67…
7 0.555 227 305 67…
8 0.052 773 656 42…
… ……
當(dāng)然，既然不可能把無窮多的整數(shù)和無限位數(shù)的小數(shù)全部寫出來，上述的聲明意味著此人發(fā)現(xiàn)了某種普遍規(guī)律（就像我們用來排列普通分?jǐn)?shù)的一樣），根據(jù)這個規(guī)律他寫出了上面這張表，而這個規(guī)律可以保證每個小數(shù)都遲早會出現(xiàn)在表上。
不過，我們不難證明這種聲明是靠不住的，因?yàn)槲覀兛偸悄軐懗鲞@張無限的表里不包含的無限小數(shù) 。如何做到呢？這很簡單，只要寫下第一位小數(shù)不同于表里N1的小數(shù)的第一位的，第二位小數(shù)不同于N2的第二位的，如此類推。最后你得到的數(shù)字會長這樣：

這個數(shù)不在這張表里，無論你往下看多少項(xiàng) 。其實(shí)如果表的作者告訴你，你寫的這個小數(shù)在表里的第137號（N137，或其他任何一號），你可以立即反駁：“不，這兩個小數(shù)不同，因?yàn)樗鼈兊牡?37位小數(shù)是不一樣的 ?！?br /> 因此線段上的點(diǎn)和整數(shù)數(shù)目之間一對一的對應(yīng)關(guān)系是不可能建立的，這就說明線段上點(diǎn)的個數(shù)比所有整數(shù)或分?jǐn)?shù)的數(shù)目更大，或者說更強(qiáng) 。
我們之前討論的是“1英寸長的”線段上的點(diǎn)，但根據(jù)我們的“無窮大算數(shù)”，顯而易見,任何長度的線段都服從這一規(guī)律。事實(shí)上，1英寸、1英尺、1英里長的線段上的點(diǎn)的數(shù)目都是一樣多的。為證明這點(diǎn)我們可以看一下圖6，它比較了兩條不同長度的線段AB、AC上的點(diǎn)的數(shù)目。

為建立兩條線段上的兩點(diǎn)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，我們可以畫無數(shù)條BC的平行線，這些線各交AB和AC于一對點(diǎn)，比如D和D’，E和E’，F(xiàn)和F’ ，等等。這樣一來，AB上的每個點(diǎn)就都對應(yīng)有AC上的一個點(diǎn)，反之亦然。因此根據(jù)無窮大的規(guī)則，這兩條線段上（即AB、AC）無窮多的點(diǎn)的數(shù)目是一樣多的。
其實(shí)隨著對無窮大的研究，一個更令人驚詫的結(jié)論可以表示為：一塊平面上的點(diǎn)的數(shù)目與一條線段上的點(diǎn)的數(shù)目是一樣多的。為證明這點(diǎn)，我們可以以一條長1英寸的線段AB與正方形CDEF為例（圖7）。

假設(shè)線段上給定的某點(diǎn)，數(shù)值是0.751 203 86… ，我們可以把這個數(shù)分成兩個小數(shù)，選取其偶數(shù)位和奇數(shù)位的小數(shù)，然后分別拼在一起，我們可以得到：
0.710 8…
和
0.523 6…
在正方形里測量這兩個數(shù)字分別對應(yīng)的水平和垂直距離，然后把得到的點(diǎn)稱為線段上的原始點(diǎn)的“對應(yīng)點(diǎn)” 。反之，如果我們在正方形里有一個點(diǎn)，位置可以表述為：