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也有些數(shù)字真的是無限的，比我們能寫出的任何數(shù)都要大。因此“所有數(shù)字的數(shù)目”顯然是無窮大的，“一條線段上的所有幾何點(diǎn)的數(shù)目”也一樣。那么，有沒有什么辦法可以描述它們而不只是說它們是無窮大的，或者說，有沒有可能舉個例子，比一比兩個不同的無窮大，看哪一個“更大”？
“所有數(shù)字的數(shù)目相比一條線上所有點(diǎn)的數(shù)目是大還是??？￠]庋奈侍庥幸庖迓穡空飧穌Э從行┗牡奈侍猓?著名數(shù)學(xué)家喬治·康托爾（Georg Cantor）最先思考過，他確實可以被稱為“無窮大數(shù)算數(shù)”的奠基人。
當(dāng)我們想要討論無窮大數(shù)是更大還是更小時，我們面臨的問題是，需要比較我們既不能命名又不能寫下的數(shù)字，這時我們就像一位正在查看自己的寶箱中是玻璃珠多還是銅幣多的霍屯督人，但是你應(yīng)該還記得，霍屯督人數(shù)不了比3大的數(shù) 。那他會因為數(shù)不了大于3的數(shù)而放棄比較玻璃珠和銅幣的數(shù)目嗎？顯然不可能。如果他足夠聰明，他會通過一個一個比較玻璃珠和銅幣來得到答案。
他會把一粒玻璃珠放在一塊銅幣旁邊，另一粒玻璃珠放在另一塊銅幣旁邊，然后繼續(xù)下去……如果玻璃珠用完了而銅幣還有，他便知道銅幣更多，反之玻璃珠更多，如果都用完了就是一樣多。
康托爾提出了完全一致的方法來比較兩個無窮大的數(shù)：假使我們能將兩個無窮大里的成分一一配對的話，如果沒有剩余成分，就說明兩個無窮大是一樣的。但如果這樣的安排是無法進(jìn)行的，其中一個無窮大中有成分剩余，我們就說這個無窮大比另一個更大，或者說更強(qiáng) 。
這顯然是最合理的，也是唯一可行的比較無窮大的數(shù)量的方法。但當(dāng)我們準(zhǔn)備實際套用它的時候我們會再大吃一驚。舉個例子，奇數(shù)和偶數(shù)都是無窮多，你會自然而然地覺得這兩個無窮大是一樣大的，即奇數(shù)和偶數(shù)一樣多，這和上述的法則也完全一致，因為一對一配對這些數(shù)字可以得到：

在這里每一個偶數(shù)都與一個奇數(shù)配對，反之亦然，因此偶數(shù)的無限多與奇數(shù)的無限多一樣大。這是顯而易見的！
下面哪個數(shù)目你認(rèn)為更大：所有整數(shù)的數(shù)目，包括所有偶數(shù)和奇數(shù)，還是只有偶數(shù)的數(shù)目？你當(dāng)然會說所有整數(shù)的數(shù)目更大，因為它既包含了偶數(shù) ，還包含了奇數(shù) 。但這只是你的印象，為了得到準(zhǔn)確的答案你還是要套用上面比較兩個無窮大的法則。
然而，如果你用了這個法則你就會驚詫地發(fā)現(xiàn)你的印象是錯的。事實上，當(dāng)一一配對所有整數(shù)和偶數(shù)時：

根據(jù)我們的比較無窮大的法則，我們必須承認(rèn) ，偶數(shù)數(shù)目的無窮大和整數(shù)數(shù)目的無窮大是一樣大的。這聽起來與常理相悖，因為偶數(shù)只是整數(shù)的一部分，但我們必須記住，當(dāng)我們和無窮大數(shù)打交道的時候，我們必須準(zhǔn)備好面對意想不到的性質(zhì) 。
實際上在無窮大的世界里，部分可能和整體相等！這一點(diǎn)或許最適合用關(guān)于德國著名數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）的一個故事來闡述。據(jù)說他在關(guān)于無窮大的課堂上將無窮大的這種似是而非的性質(zhì)用下面的話表述出來：[14]
我們來想象一家擁有有限多房間的賓館，并假設(shè)所有房間都已經(jīng)有人入住。一位新的房客到來，詢問是否有空房。“很抱歉，”房東說，“房間已滿。”現(xiàn)在我們再想象一家擁有無限多房間的賓館，全部住滿。同樣有位新房客來詢問房間。