歐幾里得的證明方法
相傳畢達哥拉斯有一次應邀參加一位富有的政要的晚餐會，這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪著美麗的正方形大理石地磚 。善于觀察的畢達哥拉斯凝視腳下這些方形磁磚，他不只是欣賞磁磚的美麗，而是想到它們和”數(shù)”之間的關系，于是拿了畫筆蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對角線為邊畫一個正方形，他發(fā)現(xiàn)這個正方形面積恰好等于兩塊磁磚的面積和 。他很好奇，于是再以兩塊磁磚拼成的矩形之對角線作另一個正方形，他發(fā)現(xiàn)這個正方形之面積等于5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和 。至此畢達哥拉斯作了大膽的假設：任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和 。據(jù)說當他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀 。故西方亦稱勾股定理為”百牛定理” 。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們現(xiàn)在只有歐幾里得在《幾何原本》中的證明方法 。
I誰最先發(fā)現(xiàn)了勾股定理
勾股定理作為一個基本的幾何定理，在很多古文明里都能找到它的影子 。遠在公元前約三千年的古巴比倫人就可能已經(jīng)知道和應用勾股定理，他們還知道許多勾股數(shù)組 。同樣某些證據(jù)表明，古埃及人在建筑宏偉的金字塔和測量尼羅河泛濫后的土地時，也應用過勾股定理 。實際上，這些都遠遠早于畢達哥拉斯 。但可惜的是，由于缺乏文獻記錄、相關旁證等因素，這些證據(jù)都只能稱之為蛛絲馬跡 ?！吨荀滤憬?jīng)》中提到遠在大禹治水時就可能已發(fā)現(xiàn)了勾股定理，就屬于這類情況 。
《幾何原本》
相反，畢達哥拉斯的著作卻什么也沒有流傳下來，關于他的種種傳說都是后人輾轉(zhuǎn)傳播的，可以說真?zhèn)坞y辨 。甚至于《幾何原本》，其來歷也是非常神奇 。據(jù)著名的科技史專家席澤宗考證，歐幾里得的《幾何原本》是什么樣子，很難說清楚 。現(xiàn)在用的希臘文本是1808年在梵蒂岡圖書館發(fā)現(xiàn)的，據(jù)說是公元10世紀的一個手抄本 。由于無法肯定它是1400多年前的原物，人們猜測，這個手抄本就是為教幾何而編的一個手稿 。除了這個版本之外，其余阿拉伯文、拉丁文譯本據(jù)說都是根據(jù)公元4世紀末的一個增訂本而來，而這本書是沒有圖的 。一部講幾何學的書沒有圖，很難想象是什么樣子 。從考古資料和書寫載體上看，古希臘文明的巨著，它們的來源和傳承的疑點太多，加上后世各種語言互相翻譯，也就是二次創(chuàng)作，所以很難厘清兩千年前古希臘文明是個什么形態(tài)！如果按照考訂《尚書》的標準，這些都是后世的偽作 。
真正有據(jù)可查的，唯有《周髀算經(jīng)》，它的記載比畢達哥拉斯早了500多年 。《周髀算經(jīng)》原文記載如下：”昔者周公（注：公元前11世紀周武王的大臣）問于商高（注：學者）曰：’竊聞科大夫善數(shù)也，請問古者包犧立周歷度 。夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？’商高曰：’數(shù)之法，出于方圓 。圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一 。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五 。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五 。兩矩共長二十有五，是謂積矩 。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也 。\'” 商高的回答實際上是對勾股定理的最早幾何證明，趙爽評價這個陳述”將以施于萬事，而此先陳其率也”，漢文化中習慣性以”一生二、二生三、三生萬物”、”九九歸一”來概括一切現(xiàn)象，而”勾三股四弦五”正是這種文化習慣的表現(xiàn)，并非像某些人理解的那樣，以為《周髀算經(jīng)》僅僅是發(fā)現(xiàn)了一個勾股定理的特例 。
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