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牛頓萬有引力定律

這是一個(gè)很好的公式，但它缺乏坐標(biāo)信息和方向。我們可以把牛頓的萬有引力定律寫成

其中F_21是第一個(gè)物體對(duì)第二個(gè)物體的作用力，G是常量，m_1和m_2是兩個(gè)物體的質(zhì)量，s_1和s_2是兩個(gè)物體的位置，|s_1- s_2|是兩個(gè)物體之間的距離。從數(shù)學(xué)上講，s_1- s_2表示從第二個(gè)物體的位置到第一個(gè)物體的矢量，矢量的大小用絕對(duì)值表示。這個(gè)表達(dá)式看起來很奇怪，因?yàn)榉帜甘蔷嚯x的3次方。但是分子式中的s_1- s_2也是距離單位。對(duì)于作用在一個(gè)物體上的總力，我們可以把每一個(gè)物體對(duì)第一個(gè)物體施加的力加起來。

推導(dǎo)開普勒定律用牛頓力學(xué)和牛頓萬有引力定律來推導(dǎo)開普勒定律。要做到這一點(diǎn)，我們需要找出運(yùn)動(dòng)方程，這是一組描述物體如何作為時(shí)間的函數(shù)運(yùn)動(dòng)的微分方程。在牛頓力學(xué)中，要找運(yùn)動(dòng)方程需要
找出所有作用在物體上的力，求出坐標(biāo)系中的加速度，把第一步中的力寫成系統(tǒng)中每個(gè)物體的位置和速度的函數(shù)，讓置步驟2和步驟3的結(jié)果相等，匹配基向量的系數(shù) 。這樣，你以得到每個(gè)物體的三個(gè)微分方程（如果考慮到力矩，還可以得到一些額外的方程）。
步驟1：尋找力
讓我們從太陽系中的任意一個(gè)天體開始。根據(jù)牛頓萬有引力定律，有

如果代入一些數(shù)字，會(huì)發(fā)現(xiàn)可以忽略除太陽以外的所有項(xiàng) 。例如，太陽對(duì)地球施加的力是月球?qū)Φ厍蚴┘拥牧Φ?77倍。木星對(duì)土星施加的力，是除太陽以外的任何兩個(gè)物體之間最強(qiáng)的力，它只占土星和太陽之間力的0.5%左右。
只要考慮太陽對(duì)任意物體施加的力

根據(jù)牛頓第二定律，有

假設(shè)物體的質(zhì)量是恒定的

初步的簡(jiǎn)化
至此，我們已經(jīng)知道了運(yùn)動(dòng)方程，但還可以做一些簡(jiǎn)化。首先，注意到太陽比太陽系中任何其他物體的質(zhì)量都大得多。根據(jù)牛頓第三定律，盡管兩個(gè)物體受到的力是相同的，但太陽的移動(dòng)要比其它物體小得多。這樣，我們可以將坐標(biāo)系統(tǒng)的原點(diǎn)設(shè)置在太陽的中心，這意味著太陽的位置是零矢量：

如果用笛卡爾基向量寫出物體的位置，有

角動(dòng)量
我們要讓其中一個(gè)坐標(biāo)為零。假設(shè)z = 0 。根據(jù)上面的方程，物體在z方向上不會(huì)受到任何力，因此也不會(huì)有加速度。如果z方向的速度也是0，那么z將保持為0 。

我們總是可以選擇坐標(biāo)軸，使z方向上的位置和速度總是為零（讓z軸垂直于初始速度和初始位置）。為了做到這一點(diǎn)，我們使用向量積（外積、叉積），得到一個(gè)垂直于另外兩個(gè)三維向量的三維向量。兩個(gè)向量的向量積的長度與這兩個(gè)向量的長度以及它們之間夾角的正弦有關(guān) 。
如果我們?nèi)∥矬w的位置矢量和速度矢量的向量積，然后把結(jié)果乘以質(zhì)量，就得到了角動(dòng)量，它有類似于動(dòng)量的性質(zhì)，但是是圍繞著一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而不是平移。我們稍后會(huì)看到，開普勒第二定律是角動(dòng)量守恒的結(jié)果。現(xiàn)在，我們要用它來定義z基向量。