現(xiàn)在，我們可以求二階導數(shù)
我們用了和上面一樣的技巧，把所有東西都寫成φ的形式 。把這個方程和α的定義代入徑向方程，得到
該微分方程是一個標準的二階線性微分方程，我們可以用多種方法求解 。這篇文章已經(jīng)很長了，我們直接寫出解
選擇坐標軸
前面提到過，在得到解之前，x軸和y軸并不參與計算，我選擇它們使sin項消失而cos項保留 。這樣，我得到了α(φ)的一個更簡單的方程
我們要找的不是α(φ)而是ρ(φ)，根據(jù)α的定義，有
可以把它提出來，得到一個焦點在原點的圓錐曲線的標準形式 。
圓錐曲線是通過切割圓錐得到的形狀
圓（ε = 0）橢圓（0 < ε < 1）拋物線（ε = 1）雙曲線（ε > 1）特別值得注意的是橢圓 。請注意，拋物線和雙曲線都將走向無窮遠，所以任何沿著拋物線或雙曲線軌道運行的物體都不會留在太陽系中 。然而，這些行星仍然存在于太陽系中，這意味著它們要么是圓形，要么是橢圓形 。因為圓只能在ε的一個值出現(xiàn)，所以幾乎肯定會得到一個有界軌道的橢圓 。換句話說，我們已經(jīng)證明了開普勒第一定律 。
位置作為時間函數(shù)的閉合解
【量子力學之路 開普勒第二定律證明】我們可以把ρ(φ)代入角方程得到
這個方程的解至少需要，橢圓積分 。你不會從這個方程中得到一個封閉的解 。
軌道的特點
現(xiàn)在，我們來計算一些關于軌道的事實 。我們想知道一些有用的信息，比如兩個物體之間軌道的最遠點和最近點 。我可以看到最大值和最小值出現(xiàn)在
半長軸和半短軸
對于橢圓軌道，我們也可以計算半長軸和半短軸，你可以把它們想象成橢圓的兩個半徑 。
從這些軸，我們可以用一個簡單的公式來計算橢圓的面積：
在偏心率為0的極限情況下，得到了一個圓 。
動量守恒
太陽靜止的假設導致動量守恒的一些問題 。繞軌道運行的物體會改變它的速度，而“太陽是靜止的”，這就意味著動量不守恒 。為了保證動量守恒，我們需要太陽移動 。如果我們從距離矢量q = s_1- s_2開始，求它的二階時間導數(shù)，有
從這一點開始，M和m是兩個物體的質(zhì)量 。從第三行到第四行，使用了牛頓第三定律 。這和開始時的方程大致相同，但是減少了質(zhì)量μ 。我們也可以看看總動量如何隨時間變化，
根據(jù)牛頓第三定律，它是守恒的 。如果我們定義空間中的一個新點
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