步驟2：在柱坐標(biāo)中尋找加速度
因?yàn)閦將保持為0，并且我們?cè)谔幚硪粋€(gè)旋轉(zhuǎn)的問題，使用柱坐標(biāo)再合適不過了 。清楚起見，我們?nèi)匀恍枰谥鴺?biāo)中定義x軸和y軸，但不會(huì)被涉及到它們的計(jì)算中 。因?yàn)槲覀冞x擇了柱坐標(biāo)，位置被定義為
你可以通過在笛卡爾坐標(biāo)系中展開來驗(yàn)證 。求位置的二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)，有
因?yàn)槭侵鴺?biāo)，因此ρ和φ基向量不是常量，這意味著我們也要對(duì)它們求時(shí)間導(dǎo)數(shù) 。
慣性力
在任何加速的坐標(biāo)系中，必須引入加速度項(xiàng)（慣性力）來抵消坐標(biāo)系的加速度 。在我們的例子中，有兩個(gè)慣性力:
離心加速度科氏加速度虛力
慣性力也被稱為虛力，因?yàn)檫@些力與物體之間正常的相互作用無(wú)關(guān) 。
舉個(gè)例子，離太陽(yáng)系最近的恒星大約在4光年之外 。如果定義我們的坐標(biāo)系統(tǒng)與地球一起旋轉(zhuǎn)，那么這顆恒星將以大約10000倍的光速運(yùn)動(dòng)，并具有相同量級(jí)的恒定加速度 。即使不考慮相對(duì)論，這個(gè)結(jié)果也是荒謬的（與任何物體都沒有物理上的相互作用，卻有巨大的速度和加速度） 。
但如果我們讓x軸從地球指向恒星，恒星就不會(huì)移動(dòng)，也不會(huì)有加速度 。
話雖如此，我并不喜歡“虛力”這個(gè)名字，因?yàn)樗鼤?huì)讓人產(chǎn)生一種錯(cuò)誤的印象，認(rèn)為它們不能代表真實(shí)的東西 。例如，當(dāng)汽車加速時(shí)，一個(gè)虛力會(huì)把你推向座位上，所以它并不總是“虛”的 。
慣性力是非慣性參照系的產(chǎn)物，它們出現(xiàn)在了加速度項(xiàng)中 。所有的慣性力都與物體的質(zhì)量成正比 。
步驟3：在柱坐標(biāo)中寫出引力
我們已經(jīng)把質(zhì)量和引力分開了，所以只需考慮加速度 。我們必須把重力加速度轉(zhuǎn)換成柱坐標(biāo)
步驟4和步驟5：設(shè)力的兩個(gè)定義相等，并比較基向量
現(xiàn)在可以找出具有相同基向量的項(xiàng)，這可以幫助我們將它們與柱坐標(biāo)下牛頓引力進(jìn)行比較
這個(gè)結(jié)果給出了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程 。第三個(gè)運(yùn)動(dòng)方程是z(t) = 0 。
角運(yùn)動(dòng)方程
根據(jù)一階微分方程的知識(shí)，我猜這個(gè)方程是兩個(gè)函數(shù)乘積的時(shí)間導(dǎo)數(shù) 。我們從標(biāo)準(zhǔn)乘積法則開始
在這種情況下，可以讓g(t) = φ ' (t) 。為了讓它成立，我們需要將方程乘以某個(gè)函數(shù)μ(t)
解出這個(gè)方程
函數(shù)μ(t)被稱為積分因子 。如果你不知道，我建議你開始學(xué)習(xí)微分方程微分方程第一步，吃透基本概念——復(fù)數(shù)，多項(xiàng)式方程及矩陣?yán)碚?。把所有東西都代進(jìn)去
這意味著f(t) g(t) = ρ^2φ ' 。我們?cè)囍鴮?duì)ρ^2φ '求導(dǎo)
這個(gè)結(jié)果似乎是成立的，我們已經(jīng)將方程簡(jiǎn)化到可以對(duì)兩邊積分的程度
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