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你怎么知道它是一個乘積的時間導數(shù)的？
求解微分方程，首先要猜測解的形式，看看能不能解出來。如果不能，再另一種形式。令人惱火的是，許多關于微分方程的課程（資源）只給出了可行的猜測，這就給人制造了一種錯覺，以為某些作者（編者）一下知道了解的形式 ?，F(xiàn)實中，他們嘗試了各種形式的函數(shù)，直到得出正確的解。
角動量守恒
我們要加一個常數(shù)，但應該加什么常數(shù)呢？在本文的前面，我提到了角動量，但沒有計算它 ?，F(xiàn)在計算它，得到

角動量等于質量乘以ρ^2φ '（在z方向上）。因此，C=L/m 。此外，角方程還可以幫助我們解徑向方程

要清楚的是，我們還沒有解出角方程，但是我們可以用它來去掉徑向方程中的一些煩人的因素。
開普勒第二定律
在討論徑向方程之前，我們先來推導一下開普勒第二定律。我們知道函數(shù)ρ(φ)在兩個角度φ_1和φ_2之間的面積是

讓τ表示它達到φ_1和達到φ_的時間間隔。如果我們做u代換，有

從角方程，我們知道ρ^2φ ' = L/m，所以可以把它代入積分

注意，除了從一個角度到另一個角度所需的時間是τ外，我們沒有對這兩個角度做任何說明，這就證明了開普勒第二定律。
徑向方程
把角方程的解代入得到

這個方程和伯努利微分方程很相似。非線性項的二階導數(shù)會引入無法抵消的項。為了解決這個問題，我們將放棄尋找ρ(t)和φ(t)的封閉解，而嘗試尋找它所走的路徑，ρ(φ) 。
追蹤路徑vs.位置的時間函數(shù)
為了強調這一區(qū)別，我們可以考慮一些以不同方式在賽道上前進的人：
開賽車，騎自行車，步行，在賽道上走了一半，然后轉身，所有這些都可以有不同的ρ(t)和φ(t)，但它們都有相同的ρ(φ) 。同樣地，只要知道ρ(φ)，太陽系中的行星和其他天體就有可能以隨機的速度運動，旋轉，甚至是瞬移，只要它們一直在軌道上。為了確定行星的運動方式，我們還需要φ(t)，這可以從角方程中得到，目前還沒有解出來。
伯努利方程
在伯努利方程中，我們會猜想ρ(t)是α(t)的冪

如果求一階導數(shù)

這個表達式看起來沒什么問題，我們來求二階導數(shù)

正如你所看到的，有一個導數(shù)的平方，它阻止了我們求出閉合解。我們還沒有設n的值，所以看看是否可以將它設為某個值，以去掉平方導數(shù) 。如果n = 0或n = 1，就可以消去平方導數(shù)，但也會把有用的東西消去。我們注意到平方導數(shù)來自于一階導數(shù)中的α項，所以看看能不能去掉它。我們用鏈式法則把dα/dt寫成(dα/dφ) (dφ/dt) 。從角方程，我們知道dφ/dt = L/(m ρ^2)，從α的定義，有