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代數(shù)基本定理斷言任意?n（n＞0）次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域中至少有一個(gè)根，事實(shí)上，有許多等價(jià)的陳述方式，例如，每個(gè)?n（ n> 0）次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上一定有一個(gè)一次因式，它是代數(shù)學(xué)中非常重要且基礎(chǔ)的一個(gè)定理。
代數(shù)基本定理演化?17 世紀(jì)的代數(shù)方程論開始于方程根的數(shù)目究竟有多少的問題，吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾是第一個(gè)意識(shí)到三次方程可能有三個(gè)根，四次方程可能有四個(gè)根等，曾指出實(shí)系數(shù)方程的復(fù)根是成對(duì)出現(xiàn)的，并引入負(fù)數(shù)的平方根，但是只考慮正根，而不考慮負(fù)根。
1629年荷蘭數(shù)學(xué)家阿爾伯特?吉拉德在“代數(shù)的新發(fā)明”一書中斷言，如果把虛根考慮在內(nèi)，并按重?cái)?shù)計(jì)算重根的數(shù)目，則?n次代數(shù)方程有?n個(gè)根，吉拉德首次將負(fù)數(shù)與正數(shù)等量齊觀并承認(rèn)復(fù)根，雖未能給出證明，但克服了大多數(shù)不愿將復(fù)數(shù)根視為合理的情況。
1637 年勒內(nèi)·笛卡爾在他的“幾何學(xué)”第三卷中推測每個(gè)方程根的數(shù)目等于未知數(shù)的維數(shù)，與吉拉德的說法類似，但是對(duì)笛卡爾來說，虛根從來不對(duì)應(yīng)任何實(shí)數(shù)，摒棄了復(fù)根。
從 16 世紀(jì)初到17世紀(jì)中葉的方程理論中，缺少對(duì)“虛量”的精確表述，對(duì)于線性因子分解和根的數(shù)目的一般陳述并非代數(shù)基本定理。
18 世紀(jì)初，約翰·伯努利和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨的工作構(gòu)成了代數(shù)基本定理史的起點(diǎn) 。
伯努利在1702 年的文章“關(guān)于積分學(xué)問題的解答”的開頭得出一個(gè)結(jié)論：有理微積分總是可以約化為雙曲線的求積（如果對(duì)數(shù)是實(shí)的）或圓的求積（如果對(duì)數(shù)是虛的）。但是他沒有給出一般證明，萊布尼茲通過舉例積分：

同時(shí)依賴于雙曲線和圓的求積，并指出只要有理分式的分母分解成一次或二次實(shí)因式，就會(huì)有一個(gè)與圓或雙曲線求積相同的相依積分，并提出了代數(shù)基本定理問題：即每一個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式都能分解成線性因式的乘積或分解成實(shí)系數(shù)的一次因式和二次因式之積。但是萊布尼茨否定了問題的答案，并以：

為例，認(rèn)為不能對(duì)所有的多項(xiàng)式得到這樣的實(shí)因式解。這樣就開啟了一段圍繞實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式能分解成線性因式的乘積為主題的工作。
對(duì)于方程根的存在性問題的普遍關(guān)注是在十八世紀(jì)，代數(shù)基本定理的第一次證明通常歸功于法國數(shù)學(xué)家讓·勒朗·達(dá)朗貝爾，他在1746 年詳細(xì)闡述了此定理，并于 1748年出版。1749年瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉發(fā)表了一個(gè)與達(dá)朗貝爾截然不同的證明，在接下來的幾十年里，弗朗索瓦·戴維，約瑟夫·拉格朗日，以及皮埃爾-西蒙·拉普拉斯等人給出了代數(shù)基本定理的其他代數(shù)證明方法。
直到1799 年，冠以“數(shù)學(xué)王子”稱號(hào)的德國數(shù)學(xué)家約翰卡爾·弗里德里希·高斯在赫爾姆施泰特寫的博士論文《每個(gè)單變量的整有理代數(shù)函數(shù)均可分解為一次和二次實(shí)因式積的新證明》中才首次給出代數(shù)基本定理較嚴(yán)格的證明，它包含了對(duì)達(dá)朗貝爾、歐拉、戴維、拉格朗日的工作的批評(píng)，然后運(yùn)用幾何方法給出自己的證明，該證明為數(shù)學(xué)中證明存在性問題提供了創(chuàng)新思想。
高斯在后來的1815 年、1816 年、1849 年又分別給出代數(shù)基本定理的另外三個(gè)證明，1815年給出的是完全依賴于代數(shù)原理的證明，1816 年給出的是純粹解析性的證明，1849年的證明是為紀(jì)念其獲得博士學(xué)位 50 周年而作，將第一次證明擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域。高斯一生中對(duì)代數(shù)基本定理提供了四個(gè)不同的證明，涵蓋其整個(gè)成年生活的五十年的時(shí)間跨度。