1944年《美國數(shù)學(xué)月刊》首次出現(xiàn)一個(gè)像蝴蝶一樣的圖形題目，第一次出現(xiàn)了“蝴蝶定理”這個(gè)名稱 。事實(shí)上，在1815年，英國一本雜志《男士日記》上登出了一篇征解問題，這是“蝴蝶定理”的第一次問世，同時(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)教師霍納給出了第一個(gè)證明，這個(gè)證明方法就是“霍納證法”，完全是基于初等的平面幾何證明方法，這個(gè)證明方法也是最流行，最簡潔的 。相信很多初中的小伙伴也會(huì)證明！
蝴蝶定理：設(shè)M為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn)，過M作弦AB和CD 。設(shè)AD和BC各相交PQ于點(diǎn)X和Y，則M是XY的中點(diǎn) 。
最為歐氏幾何的最精彩結(jié)論，“蝴蝶定理”僅僅停留在圓中，那是不可能的，今天我們一起來探討圓錐曲線中的“蝴蝶定理” 。它能為我們高考數(shù)學(xué)做哪些幫助呢？
事實(shí)上，通過射影變換，顯然可以知道“蝴蝶定理”對于圓錐曲線的情形是非常適合的 。但是如果針對一般情形，高考題不可能考察到，因?yàn)槟菢訒?huì)使計(jì)算量異?？植?。故對于高中數(shù)學(xué)，我們需要掌握兩類“蝴蝶”模型就好，我們把它們稱之為“橫蝴蝶”和“豎蝴蝶” 。
橫蝴蝶定理1：過橢圓短軸上任意一點(diǎn)M的兩條弦端點(diǎn)作兩條直線,一定截過M點(diǎn)與短軸垂直的直線為相等的線段，即：PM=MQ
定理2：過雙曲線虛軸上任意一點(diǎn)M的兩條弦端點(diǎn)作兩條直線,一定截過M點(diǎn)與虛軸垂直的直線為相等的線段，即：PM=MQ
定理3：過拋物線對稱軸上任意一點(diǎn)M的兩條弦端點(diǎn)作兩條直線,一定截過M點(diǎn)與對稱軸垂直的直線為相等的線段即：PM=MQ
下面看“橫蝴蝶”兩道應(yīng)用題
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