自高斯的博士論文揭示了前期數(shù)學家證明的不足之后，關于此定理的證明便接踵而至，意大利數(shù)學史學家吉諾·洛里亞于1891年整理了一份 從1749 年（達朗貝爾）至 1891年期間將近80位數(shù)學家證明基本定理的文獻清單，基于這些文獻清單，深入剖析為什么有這么多關于代數(shù)基本定理的證明 。
從1749年到1849 年期間，代數(shù)基本定理的證明歷史分為代數(shù)證明史和分析證明史，主導代數(shù)證明的數(shù)學家主要有歐拉、拉格朗日、戴維、拉普拉斯、伍德、高斯 。主導分析證明的數(shù)學家有達朗貝爾、高斯、阿爾岡、柯西 。
高斯對代數(shù)基本定理的第三次證明高斯一生為此定理提供 4次證明：1799 年的第一次證明作為博士論文發(fā)表于赫爾姆施泰特大學，在以后的1815 年、1816 年、1849年分別給出代數(shù)基本定理的另外三個證明 。高斯在1816年發(fā)表的第三次證明開篇講道：
方程理論中最重要的定理，前兩個早期證明版本的不同之處在于：前者非常簡 短和簡單，但部分基于幾何考慮，而另一個則純粹是分析性的，但要復雜得多 。另一 方面，基于完全不同的原理，目前的第三個證明也是純粹的分析性的，但在簡單和簡 潔性方面甚至超過了第一個 。
可見第三次證明對高斯的重要性，從19 世紀中葉至 20 世紀末期，有研究者復原高斯第三次證明的思想過程，其對應于吳文俊先生提倡的數(shù)學史研究范式中的 “古證復原”方法 。本文基于原始文獻和研究文獻，在遵循高斯原始證明思想的基 礎上，對第三次證明中函數(shù)y提供一種新的證明思路 。
埃爾?拉梅引理
1834年，法國數(shù)學家加布里埃爾?拉梅發(fā)表了一篇關于以太流體平衡定律的文章，論文第二部分共軛正交面一節(jié)中，拉梅證明了如下定理：
當一個曲面系統(tǒng)由一般方程：
定義時，ε_1，ε_2表示為ρ_1，ρ_2的各個函數(shù)，令
α，β是不動點坐標，常數(shù)α，β和A之間互不相同，以上方程式給出：
從而有：
證得曲面系統(tǒng)是 正交且等溫的 。
函數(shù)y的重新構造
高斯首先設系數(shù)為實數(shù)的多項式：
至少有一個（實數(shù)或復數(shù)）解，使得?f(x)=0，r，φ為其他變量并設：
高斯將函數(shù)?f(x)替換為：
并分為實部t和虛部u：
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