事實上，用到棣莫弗公式：
輔助變量t和u存在的合理性在1799年的論文中已被證明，第三次證明確實處于與他的第一個證明相似的條件下 。接下來，高斯直接給出函數(shù)：
論文并沒有給出y的推導(dǎo)過程，后來數(shù)學(xué)界對函數(shù)y提出兩種不同的構(gòu)造方法，其中方法之一是取決于反正切函數(shù)：
高斯的第三次證明本質(zhì)上是從反正切函數(shù)?開始的 。實際上，從拉梅證明的一個定理中發(fā)現(xiàn)，我們可以從對數(shù)函數(shù)：
出發(fā)構(gòu)造復(fù)雜函數(shù)y，令θ=logr，β是t和u的函數(shù)，則：
從而得出：
因此，這兩個量滿足方程：
二次求偏導(dǎo)的值恰好是：
高斯在第三次證明的腳注中解釋了確定最后一個積分的方法：
要使用它是不言自明的，此外，不定積分很容易用理解為：
?它可以從另一個來源證實，該值必須確定為φ = 360°，或擴展為?n× 360°，即2?nπ，然而，這是沒有必要的計劃 。
高斯試圖說明使他產(chǎn)生矛盾的假設(shè)，但是他想表明的是沒有必要，即使這樣，多值函數(shù)當(dāng)時已經(jīng)被高斯仔細(xì)考慮過了，?n次有理函數(shù)?f（x）的圓弧在圍繞零點足夠大的 圓上旋轉(zhuǎn)時，
將經(jīng)歷2nπ的變化，高斯1811年與貝塞爾的通信中分析了對數(shù)函數(shù)：
?如果通過：
定義logx，從x=1開始，則到達logx時，不包括點x=0或者多次繞過它；每次添加常量或-2πi 。
可見，通過圓的圓周時，logx的變化為2nπi，無論是?反正切函數(shù)或?對數(shù)函數(shù)都可以在遵循高斯原始思想的前提下，證明代數(shù)基本定理 。
接著同高斯一樣把證明代數(shù)基本+2πi定理的證明轉(zhuǎn)化成考察二重積分次序的問題，積分的值與積分次序無關(guān)，最后所得結(jié)果應(yīng)該一致，如果能找到一個可微函數(shù)y，使得積分的值因積分順序不同而不同，與原假設(shè)產(chǎn)生矛盾，基本定理得到了證明 。
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