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一、性質(zhì)
1、正值性質(zhì)
當(dāng)α>0時，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：
a、圖像都經(jīng)過點(diǎn)（1,1）（0,0）；
b、函數(shù)的圖像在區(qū)間[0,+∞）上是增函數(shù)；
c、在第一象限內(nèi) ， α>1時，導(dǎo)數(shù)值逐漸增大；α=1時，導(dǎo)數(shù)為常數(shù)；0<α<1時，導(dǎo)數(shù)值逐漸減小，趨近于0（函數(shù)值遞增）；
2、負(fù)值性質(zhì)
當(dāng)α<0時，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：
a、圖像都通過點(diǎn)（1,1）；
b、圖像在區(qū)間（0 ， +∞）上是減函數(shù)；（內(nèi)容補(bǔ)充：若為X-2 ，易得到其為偶函數(shù) 。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區(qū)間（-∞ ， 0）上單調(diào)遞增。其余偶函數(shù)亦是如此）。
c、在第一象限內(nèi) ，有兩條漸近線（即坐標(biāo)軸），自變量趨近0 ，函數(shù)值趨近+∞ ，自變量趨近+∞ ，函數(shù)值趨近0 。
3、零值性質(zhì)
當(dāng)α=0時，冪函數(shù)y=xa有下列性質(zhì)：
a、y=x0的圖像是直線y=1去掉一點(diǎn)（0,1）。它的圖像不是直線。
二、特點(diǎn)
對于α的所有非零有理數(shù) ，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果

， q和p都是整數(shù) ，則

，如果q是奇數(shù) ，函數(shù)的定義域是R;如果q是偶數(shù) ，函數(shù)的定義域是[0,+∞）。
當(dāng)指數(shù)α是負(fù)整數(shù)時，設(shè)α=-k ，則
【冪函數(shù)的性質(zhì)及圖像特點(diǎn)】

，顯然x≠0 ，函數(shù)的定義域是（－∞ ， 0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點(diǎn) ，一是有可能作為分母而不能是0 ，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù) ，那么我們就可以知道：
α小于0時， x不等于0；
α的分母為偶數(shù)時， x不小于0；
α的分母為奇數(shù)時， x取R 。

初等函數(shù)
初等函數(shù)是由冪函數(shù)（power function）、指數(shù)函數(shù)（exponential function）、對數(shù)函數(shù)（logarithmic function）、三角函數(shù)（trigonometric function）
反三角函數(shù)（inverse trigonometric function）與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算（加、減、乘、除、有理數(shù)次乘方、有理數(shù)次開方）及有限次函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生，并且能用一個解析式表示的函數(shù) 。
它是最常用的一類函數(shù) ，包括常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)（以上是基本初等函數(shù)），以及由這些函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或函數(shù)的復(fù)合而得的所有函數(shù) 。
即基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算或有限次的函數(shù)復(fù)合所構(gòu)成并可以用一個解析式表出的函數(shù) ，稱為初等函數(shù) 。
還有一系列雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) ，如sinh的名稱是雙曲正弦或超正弦， cosh是雙曲余弦或超余弦， tanh是雙曲正切， coth是雙曲余切， sech是雙曲正割， csch是雙曲余割。初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)一定連續(xù) 。