今天的文章聊聊高等數(shù)學(xué)當(dāng)中的極限 ， 我們跳過(guò)極限定義以及一些常用極限計(jì)算的部分 。我想對(duì)于一些比較常用的函數(shù)以及數(shù)列的極限 ， 大家應(yīng)該都非常熟悉 。
大部分比較簡(jiǎn)單的函數(shù)或者數(shù)列 ， 我們可以很直觀地看出來(lái)它們的極限 。比如1/n ， 當(dāng)n趨向于無(wú)窮大的時(shí)候 ， 1/n 的極限是0 ， 再比如當(dāng)n趨向于無(wú)窮大的時(shí)候 ， n的平方的極限也是無(wú)窮大 ， 等等 。
但是對(duì)于一些相對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù) ， 我們一時(shí)之間可能很難直觀地看出極限 ， 因此需要比較方便計(jì)算極限的方法 ， 今天的文章介紹的正是這樣的方法——夾逼法和換元法 。
夾逼法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域其實(shí)非常常用 ， 在中學(xué)的競(jìng)賽當(dāng)中經(jīng)常出現(xiàn) 。夾逼法的原理非常簡(jiǎn)單：
對(duì)于某一個(gè)函數(shù)f(x) ， 我們知道它的表達(dá)式 ， 但是很難確定它的范圍 。我們可以先找到另外兩個(gè)范圍比較容易確定的函數(shù)g(x)和h(x) ， 然后證明:
通過(guò)h(x)和g(x)的范圍來(lái)夾逼f(x)的范圍 。
說(shuō)白了 ， 就是直接求解不方便的函數(shù) ， 我們通過(guò)用其他容易計(jì)算的函數(shù)來(lái)替代的方法來(lái)間接求解 ， 類似于“曲線救國(guó)” 。
明白了夾逼法的概念之后 ， 我們?cè)賮?lái)看一下它在數(shù)列極限當(dāng)中的應(yīng)用 。
假設(shè)當(dāng)下存在數(shù)列 {xn} 我們需要確定它的極限 ， 我們找到了另外兩個(gè)數(shù)列 {yn} 和 {zn} 。如果它們滿足以下兩個(gè)條件：
那么 ， 數(shù)列 {xn} 的極限存在 ， 并且:
從直覺(jué)上來(lái)看 ， 上面的式子應(yīng)該非常直觀 ， 但是我們還是試著從數(shù)學(xué)的角度來(lái)證明一下 ， 順便回顧一下極限的定義 。
證明過(guò)程如下：
【兩個(gè)重要極限公式推導(dǎo) 如何求極限】根據(jù)極限的定義 ， 對(duì)于數(shù)列 {xn} 而言 ， 對(duì)于任意?都存在 n0
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