柯西中值定理應(yīng)用
1、用來判斷函數(shù)的增減性 。若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增（或減），則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正（或負(fù)），也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值（或負(fù)值） 。因此可通過判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定函數(shù)的增減性；
2、用來計(jì)算不定式的極限 ?？挛髦兄刀ɡ淼囊粋€(gè)極其重要的應(yīng)用就是可以用來計(jì)算未定型的極限 。兩個(gè)無窮小量或兩個(gè)無窮大量的比的極限統(tǒng)稱為不定式極限 。
柯西中值定理積分中值定理表達(dá)式為：f(x)dx=f(ξ）(b-a)（a≤ξ≤b) 。
若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上連續(xù) ， 則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使上式成立 。中值定理的主要作用在于理論分析和證明；同時(shí)由柯西中值定理還可導(dǎo)出一個(gè)求極限的洛必達(dá)法則 。
積分中值定理在定積分的計(jì)算應(yīng)用中具有重要的作用，下面我們給出幾個(gè)具體的常見的例子 ， 通過實(shí)際應(yīng)用來加深對(duì)積分中值定理的理解 。
積分中值定理的作用：
積分中值定理在應(yīng)用中所起到的重要作用是可以使積分號(hào)去掉，或者使復(fù)雜的被積函數(shù)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的被積函數(shù) ， 從而使問題簡(jiǎn)化 。
因此，對(duì)于證明有關(guān)題設(shè)中含有某個(gè)函數(shù)積分的等式或不等式，或者要證的結(jié)論中含有定積分，或者所求的極限式中含有定積分時(shí)，一般應(yīng)考慮使用積分中值定理，去掉積分號(hào)，或者化簡(jiǎn)被積函數(shù) 。
柯西定理是什么意思柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣 ， 是微分學(xué)的基本定理之一 。
柯西（Cauchy）中值定理
柯西
設(shè)函數(shù)f(x),g(x)滿足
⑴在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；
⑵在開區(qū)間（a ， b）內(nèi)可導(dǎo)；
⑶對(duì)任一x∈（a,b）有g(shù)'(x）≠0，
則存在ξ∈（a,b） ， 使得
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'（ξ）/g'（ξ）
證明：
作輔助函數(shù) F(x)=f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)/[g(a)-g(b)]
顯然，F(xiàn)(a)=F(b)=[f(a)g(b)-f(b)g(a)]/[g(b)-g(a)]
由羅爾中值定理知：存在ξ∈（a,b），使得F'（ξ）=0.
故F'（ξ）=f'（ξ）-[f(a)-f(b)]g'（ξ）/[g(a)-g(b)]=0，即f'（ξ）/g'（ξ）=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]
命題得證 。
與拉氏定理的聯(lián)系：
在柯西中值定理中 ， 若取g(x)=x時(shí)，則其結(jié)論形式和拉格朗日中值定理的結(jié)論形式相同 。
因此，拉格朗日中值定理為柯西中值定理的一個(gè)特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推廣 。
幾何意義：
若令u=f(x),v=g(x），這個(gè)形式可理解為參數(shù)方程，而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]則是連接參數(shù)曲線的端點(diǎn)斜率，f'（ξ）/g'（ξ）表示曲線上某點(diǎn)處的切線斜率，在定理的條件下，可理解如下：
用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn) ， 它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦 。
應(yīng)用判斷函數(shù)的單調(diào)性：
函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的增減性，怎樣才能判斷函數(shù)的增減性呢？
我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增（或減），則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正（或負(fù)），也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值（或負(fù)值）.因此我們可通過判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定函數(shù)的增減性.
例1 設(shè)f(0)=0，f(x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.證明：f(x)x在（0，+∞）上單調(diào)遞增.
證明由柯西中值定理，可以得出f(x)x=f(x)-f(0)x-0=f′（ξ）1=f′（ξ），0<；ξ
仔細(xì)觀察柯西中值定理表達(dá)式的形式，可以看到兩個(gè)函數(shù)式的比值，在移動(dòng)條件下可以化成兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的比值，這樣就有可能使得作為未定型的分式的分子與分母所表示的函數(shù)，我們將以微分中值定理為理論依據(jù)，通過求導(dǎo)，建立一個(gè)簡(jiǎn)便而有效的求非未定型極限的方法.我們得出下面這個(gè)定理：
⑴兩個(gè)函數(shù)f(x）和g(x）在開區(qū)間（a，b）可微 ， 并且在這個(gè)開區(qū)間上，g(x）的導(dǎo)數(shù)不等于0；
⑵存在極限limx→a+0f′（x)g′（x)=A，其中A為一個(gè)有限的常數(shù).則在以下情況下：limx→a+0f(x)=0和limx→a+0g(x)=0或者limx→a+0g(x)=∞.那么就有：limx→a+0f(x)g(x)=limx→a+0f′（x)g′（x)=A.反過來在區(qū)間的另一個(gè)端點(diǎn)也存在相類似的結(jié)果.這個(gè)定理就稱之為羅必達(dá)法則，能有效地應(yīng)用于未定型的極限計(jì)算.
羅必達(dá)法則可以運(yùn)用于7種未定型的極限計(jì)算，而最為基本的未定型只有兩種：00和∞∞.00和∞∞型的我們都知道，那么在此就不做介紹了.其他的未定型都可以化成這兩種形式：
①0；∞型.
通過恒等式：f(x）·g(x)=f(x)1g(x），從而得到00或∞∞這兩種基本形式.
②∞-∞型.
通過恒等式：f(x)-g(x)=1g(x)-1f(x)1f(x）×1g(x），從而得到00型.
③00 ， ∞0，1∞型.
通過恒等式f(x)g(x)=elnf(x)g(x)=eg(x)lnf(x），從而得到00;0-∞，∞-∞，00，∞0，1∞型.再進(jìn)一步化成00或∞∞這兩種基本形式.
對(duì)于兩種基本形式的未定型，直接應(yīng)用洛必達(dá)法則即可，即表示為limf(x)g(x)=limf′（x)g′（x)=A.
顯然這時(shí)的條件為f′（x） ， g′（x）都存在，并且g′（x）≠0.還有一個(gè)不是很明顯，因此初學(xué)者常常犯錯(cuò)誤的地方，就是要求f(x）和g(x）同時(shí)以0或者∞為極限.在實(shí)際做題時(shí) ， 一定要注意隨時(shí)驗(yàn)證這三個(gè)條件，否則必定會(huì)犯錯(cuò)誤..
例2 證明：limx→0+x1-ex=-1.
證明令t=x，當(dāng)x→0+時(shí)有t→0+ ， 則可以得到：
limx→0+x1-ex=limx→0+t1-et=limx→0+1-et=-1.推導(dǎo)中值公式例3 設(shè)f(x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)二次可微，證明：任意的x，x0∈（a，b），存在ξ∈（x，x0），使f(x)=f(x0)+f′（x0)(x-x0)+12f″（ξ）（x-x0)2成立（這就是泰勒公式一次展開式）.
證明由題可知，只需證明x>x0這一種情況.令
F(x)=f(x)-f(x0)-f′（x0)(x-x0） ， G(x)=12(x-x0)2.
求導(dǎo)可得F′（x)=f′（x)-f′（x0） ， G′（x)=x-x0.
因?yàn)镕(x0)=G(x0)=0，F(xiàn)′（x0)=G′（x0)=0兩次應(yīng)用到柯西中值定理，可以得到：
f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0)12(x-x0)2=F(x)G(x)=F(x)-F(x0)G(x)-G(x0)=F′（η）G′（η）=F′（η）-F′（x0)G′（η）-G′（x0)=F″（ξ）G″（ξ）=F″（ξ）.
其中η∈（x ， x0），ξ∈（x0，η），則f(x)=f(x0)+f′（x0)(x-x0)+12f″（ξ）（x-x0)2得到證明.故命題得證.研究函數(shù)的某些特性⑴證明中值點(diǎn)的存在性
例4[1] 設(shè)函數(shù)f在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則?ξ∈（a，b），使得f(b)-f(a)=ξlnbaf′（ξ）.
【柯西中值定理，柯西中值定理應(yīng)用】證明設(shè)g(x)=lnx，顯然它在[a，b]上與f一起滿足柯西中值定理的條件，于是存在ξ∈（a ， b） ， 使得f(b)-f(a)lnb-lna=f′（ξ）1ξ，即存在ξ∈（a，b）使得f(b)-f(a)=ξf′（ξ）lnba.
⑵證明恒等式
例5 證明：arcsinx+arccosx=π2，x∈[0，1].
證明令f(x)=arcsinx+arccosx，則f′（x)=11-x2-11-x2≡0，?x∈（0，1），由于f(x）在[0，1]連續(xù)，所以f(x）≡f(0)=π2.
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