每年的春節(jié)前夕，
家家戶戶都會貼上窗花，
以增點喜慶之氣 。
今年疫情當頭，
我們應注意防范，
減少聚眾性活動，
串門拜年雖然減少 ，
但是云拜年 ， 云祝福也一樣讓人開心，
沒有不怎么熟悉的七大姨八大姑對我近況的盤問，
也沒有我機智的斗智斗勇精彩辯駁，
感到少了點樂子，稍有點無聊 。
我們先看看一些具有地域特色的窗花剪紙[1] 。
上面的剪紙作品中你有沒有看出什么共性呢 。
以上窗花圖案中 ， 可以用D4點群標記 。D4點群中包含，一個四重旋轉(zhuǎn)軸，4個鏡面對稱 ， 這些話是什么意思，就讓我賣個關(guān)子，我們來看后面的介紹 。
對稱性
對稱性是指一個圖案能夠在經(jīng)過一種變換操作后能夠和原來的圖案重合的性質(zhì) 。在晶體學的范疇里，我們可以將晶體根據(jù)對稱性進行分類 。在正交變換中（即沒有縮放操作），對稱操作的類型可以分為以下6種，分別有旋轉(zhuǎn) (rotation)，鏡面對稱(reflection)，旋轉(zhuǎn)反演(improper rotation)，平移(translation)，滑移鏡面(glide reflection) 和螺旋旋轉(zhuǎn)(screw rotation)，旋轉(zhuǎn)反演可以通過鏡面對稱+旋轉(zhuǎn)連續(xù)操作而成，后兩者滑移反映和螺旋旋轉(zhuǎn)則分別由反射+旋轉(zhuǎn)和平移+反射連續(xù)操作而成 。[2]
在旋轉(zhuǎn)對稱的圖形中，n重旋轉(zhuǎn)對稱性表示 ， 每次旋轉(zhuǎn)2π/n ， 都能和原來的圖案重合 。
如果考慮縮放 ， 那么還可以有一種對稱性 ， 那就是分形（fractals） 。
（關(guān)于對稱類型的介紹可以查看往期內(nèi)容：什么是對稱？）
在對稱操作下固定不變的點、直線及平面稱為對稱元素，如圖我們對一個立方體進行對稱操作，可以發(fā)現(xiàn)所有的對稱元素都經(jīng)過體心 。[3]
其中點對稱操作，包括三種：旋轉(zhuǎn)、鏡面對稱和旋轉(zhuǎn)反演 。這三種對稱操作都可以保證空間中至少一點固定不動，所以稱之為點對稱操作 。[3]
當然我們在圖中可以看到，在二維的范疇中，旋轉(zhuǎn)反演其實就是180°的旋轉(zhuǎn)，所以二維平面中體現(xiàn)不出旋轉(zhuǎn)反演 。
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