這兩個定義是等價的，但可以有不同的解釋（這種分解使得求矩陣的冪非常方便） 。第二個定義 ， A=PDP-1，告訴我們A如何被分解，與此同時，第一個定義，P-1AP=D ， 是告訴我們A可以被對角化 。它告訴我們，有可能將標準基（由單位矩陣給出）與特征向量對齊（align） 。這是由特征向量的正交性決定的，這在性質2中顯示 。
這個 "將標準基與特征向量對齊 "聽起來非常抽象 。我們需要思考這個問題：矩陣變換對單位基做了什么？
由基α = {v_1，… ， v_n}組成的矩陣將一個向量x從標準基變換到由基α構成的坐標系，我們用Aα表示這個矩陣 。因此，在對角化的過程中（P-1AP=D），P將一個向量從標準基送入特征向量，A對其進行縮放，然后P?1將該向量送回標準基 。從向量的角度來看，坐標系與標準基對齊 。
這種對齊方式如圖1.16所示 ， 本例中使用的矩陣為：
式1.17其中V是一個列向量長度為1的矩陣，每一個都對應于對角線矩陣中的特征值 。至于計算，我們可以讓Matlab中的eig來完成 。
這個性質直接遵循譜定理（ spectral theorem）：
如果A是厄米特矩陣 ， 存在一個由A的特征向量組成的V的正態(tài)基，每個特征向量都是實數(shù) 。
該定理直接指出了將一個對稱矩陣對角化的方法 。為了直接證明這個性質，我們可以使用矩陣大?。ㄎ齲┑墓檳煞?。。
正定性這些性質什么時候有用？甚至在正式研究矩陣之前 ， 它們已經(jīng)被用于解決線性方程組很長時間了 。把矩陣看成是運算子，線性方程的信息就儲存在這些運算子中 ， 矩陣可以用來研究函數(shù)的行為 。
除了對稱性之外，矩陣還可以有一個更好的性質就是正定性 。如果一個對稱矩陣是正定的，它的所有特征值都是正的 。如果它的所有特征值都是非負的，那么它就是一個半正定矩陣 。對于一個正定矩陣，很明顯要求它是對稱的，因為性質1，因為只有當一個數(shù)字是實數(shù)時，問它是正數(shù)還是負數(shù)或有多大才有意義 。
特征值、特征向量和函數(shù)行為
這方面的一個很好的應用是海賽矩陣（Hessian matrix） ， 我們將以此為例來證明使用矩陣來分析函數(shù)行為 。當我們試圖找到一個局部極值時，發(fā)現(xiàn)海賽矩陣是正定的將非常有用 。海賽矩陣是一個由實數(shù)函數(shù)的二階偏微分組成的矩陣 。形式上 ， 海賽矩陣被定義為：
我們稱H(x)為f的海賽矩陣，它是一個n乘n的矩陣 。它與以下內容相同：
這對函數(shù)的行為有什么影響？我們來看看一個超級簡單的例子 。考慮一下函數(shù)：
海賽矩陣的計算方法如下：
式2.3由于它是一個對角矩陣，并且跡（對角線上的元素之和）等于特征向量之和 ， 我們可以立即看到其中一個特征值是2，另一個是-2 。它們對應于特征向量v? = [1, 0]?和v? = [0, 1]? 。這個矩陣是對稱的 ， 但不是正定的 。因此，在整個?2上沒有局部極值，我們只能在x=0 ， y=0點上找到一個鞍點 。這意味著在特征值為正的v_1方向上，函數(shù)增加，而在特征值為負的v_2方向上 ， 函數(shù)減少 。該函數(shù)的圖像如下所示:
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