對(duì)稱矩陣是沿對(duì)角線對(duì)稱的矩陣 。它是一個(gè)自伴算子（self-adjoint operator）（把矩陣看作是一個(gè)算子并研究其性質(zhì)確實(shí)是一件大事） 。雖然我們不能直接從對(duì)稱性中讀出幾何屬性，但我們可以從對(duì)稱矩陣的特征向量中找到最直觀的解釋，這將使我們對(duì)對(duì)稱矩陣有更深入的了解 。
常見(jiàn)的例子是單位矩陣 。一個(gè)重要的例子是：
對(duì)稱矩陣的一個(gè)例子然而，雖然定義簡(jiǎn)單如斯，但卻意義非凡 。在這篇文章中，我們將看一看它們的重要屬性 ， 直觀地解釋它們，并介紹其應(yīng)用 。
厄米特矩陣（The Hermitian matrix）是對(duì)稱矩陣的復(fù)擴(kuò)展，這意味著在厄米特矩陣中 ， 所有元素都滿足：
厄米特矩陣的共軛轉(zhuǎn)置與自身相同 。因此，它具有對(duì)稱矩陣所具有的所有性質(zhì) 。
厄米特矩陣的一個(gè)例子在這篇文章中，我主要討論的是實(shí)數(shù)情況，即對(duì)稱矩陣，以使分析變得簡(jiǎn)單一些，同時(shí)在數(shù)據(jù)科學(xué)中，我們遇到的也大都是實(shí)矩陣，因?yàn)槲覀円幚憩F(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題 。
對(duì)稱矩陣的最重要的性質(zhì)本節(jié)將介紹對(duì)稱矩陣的三個(gè)最重要的性質(zhì) 。它們涉及這些矩陣的特征值和特征向量的行為，這是區(qū)別對(duì)稱矩陣和非對(duì)稱矩陣的基本特征 。
性質(zhì)1. 對(duì)稱矩陣有實(shí)數(shù)特征值
這可以很容易地用代數(shù)法證明（正式的、直接的證明 ， 而不是歸納法、矛盾法等） 。首先 ， 快速回顧一下特征值和特征向量 。
矩陣A的特征向量是 ， 在A作用于它之后 ， 方向不變的向量 。方向沒(méi)有改變 ， 但向量大小可以改變 。實(shí)數(shù)特征值給我們提供了線性變換中的拉伸或縮放信息 ， 不像復(fù)數(shù)特征值，它沒(méi)有 "大小" 。向量被縮放的比例是特征值，我們用λ表示 。因此我們有：
式1.1證明是相當(dāng)容易的，但有一些重要的線性代數(shù)知識(shí)，所以我們還是要一步一步地來(lái) 。
1.1通過(guò)x的共軛轉(zhuǎn)置x?得到：
式1.2需要注意的是，λ是一個(gè)標(biāo)量，這意味著涉及λ的乘法是可交換的 。因此，我們可以把它移到x?（x的轉(zhuǎn)置 ， 上標(biāo)H可能不顯示）的左邊：
式1.3x?x是一個(gè)歐幾里得范數(shù)（ Euclidean norm） ， 其定義如下：
公式1.4在二維歐幾里得空間中，它是一個(gè)坐標(biāo)為（x_1，... ， x_n）的向量的長(zhǎng)度 。然后我們可以把公式1.3寫(xiě)成：
公式1.5由于共軛轉(zhuǎn)置（算子H）與普通轉(zhuǎn)置（算子T）的原理相同 ， 我們可以利用x?A=（Ax）?的特性 。
公式1.6(Ax)?等于什么？這里我們將再次使用Ax = λx的關(guān)系 ， 但這次(Ax)?將留給λ的復(fù)共軛，在λ上加一橫表示共軛 。
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