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上劃線▔ x上面加一橫怎么打( 二 )

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式1.7我們?cè)谑?.3中見(jiàn)過(guò)x?x，代歐幾里得范數(shù)后得到：

式1.8這導(dǎo)致了λ和它的復(fù)共軛相等：

式1.9只有在一種情況下，式1.9才有效，即λ是實(shí)數(shù) 。這樣一來(lái)，我們就完成了證明 。
性質(zhì)2. 特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的
這個(gè)證明也是一個(gè)直接的形式證明，但很簡(jiǎn)單 。首先我們需要清楚目標(biāo) ， 即：

式1.10考慮一個(gè)對(duì)稱矩陣A，x_1和x_2是A的特征向量，對(duì)應(yīng)于不同的特征向量（我們需要這個(gè)條件的原因?qū)⒃谏院蠼忉專?。根據(jù)特征值和對(duì)稱矩陣的定義，我們可以得到以下公式：

式1.11和式1.12現(xiàn)在我們需要證明式1.10 。讓我們?cè)囍褁_1和x_2放在一起- 。在左邊用 (Ax?)?乘以x??：

式1.13在式1.13中，除了對(duì)稱矩陣的特性外，還用到了另外兩個(gè)事實(shí) 。
矩陣乘法符合結(jié)合律（可以用結(jié)合律運(yùn)算）矩陣-標(biāo)量乘法是可交換的（可以自由移動(dòng)標(biāo)量） 。然后，由于點(diǎn)積是可交換的，這意味著x??x?和x??x?是等價(jià)的 ， 所以我們有：

式1.14其中x_1?x_2表示點(diǎn)積 。如果λ_1≠λ_ ， 那么x_1?x_1=0，這意味著這兩個(gè)特征向量是正交的 。如果λ_1 = λ_2，則有兩個(gè)不同的特征向量對(duì)應(yīng)于同一個(gè)特征值 。由于特征向量在(A-λI)的零空間（表示為N(A-λI)），當(dāng)一個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)于多個(gè)特征向量時(shí)，N(A-λI)的維數(shù)大于1 。在這種情況下，我們對(duì)這些特征向量有無(wú)限多的選擇，我們總是可以選擇它們是正交的 。
顯然，有些情況下，實(shí)數(shù)矩陣有復(fù)數(shù)特征值 。這發(fā)生在旋轉(zhuǎn)矩陣上 。為什么會(huì)這樣呢？假設(shè)Q是一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣 。我們知道 ， 特征向量在被Q作用后不會(huì)改變方向 。但如果Q是一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣，如果x是一個(gè)非零向量 ， x怎么可能不改變方向呢？結(jié)論是，特征向量必須是復(fù)數(shù)（好好想一想吧） 。
二維空間中的旋轉(zhuǎn)矩陣R(θ)如下所示：

旋轉(zhuǎn)矩陣R(θ)將一個(gè)向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ，它是一個(gè)具有復(fù)數(shù)特征值和特征向量的實(shí)矩陣 。
性質(zhì)3. 對(duì)稱矩陣總是可對(duì)角化的（譜定理）
這也與對(duì)稱矩陣的其他兩個(gè)特性有關(guān) 。這個(gè)定理的名字可能讓人困惑 。事實(shí)上，一個(gè)矩陣的所有特征值的集合被稱為譜（ spectrum） 。另外，我們可以這樣想 。
特征值-特征向量對(duì)告訴我們，在給定的線性變換之后，一個(gè)向量在哪個(gè)方向上被扭曲 。
如下圖所示，經(jīng)過(guò)變換后，在v_1的方向上，圖形被拉伸了很多，但在v_2的方向上卻沒(méi)有很大的拉伸 。

一個(gè)可對(duì)角線化的矩陣意味著存在一個(gè)對(duì)角線矩陣D（對(duì)角線以外的所有元素都是零），使得P-1AP=D，其中P是一個(gè)可逆矩陣 。我們也可以說(shuō)，如果一個(gè)矩陣可以寫成A=PDP-1的形式，那么該矩陣就是可對(duì)角的 。
分解通常不是唯一的，但只有D中對(duì)角線上的元素的排列和P中特征向量的標(biāo)量乘法才是唯一的 。另外我們需要注意的是，無(wú)論矩陣是否對(duì)稱，對(duì)角線化都等同于找到特征向量和特征值 。然而 ， 對(duì)于非對(duì)稱矩陣，D不一定是正交矩陣 。

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