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指數(shù)分布無(wú)記憶性

小知識(shí)

【指數(shù)分布無(wú)記憶性】幾何分布的例子：比如射擊 ， 在第N次首次擊中的概率是等于已知已經(jīng)射擊K次為中在第N次首次擊中的概率的 。
指數(shù)分布的例子：再如燈泡的壽命 ， 它壽命多少與是否已知它工作過(guò)多少小時(shí)是無(wú)關(guān)的 。
無(wú)記憶性也稱(chēng)無(wú)后效性 。
這些是例子 ， 用具體的計(jì)算可以導(dǎo)出發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論正確 ， 所以把這個(gè)性質(zhì)定為無(wú)記憶性 。
再通俗地說(shuō) ， 就是前面發(fā)生的事件對(duì)后面的結(jié)果沒(méi)有影響 。
比如問(wèn)一個(gè)人能活50年的概率是多少 ，
與已知這個(gè)人活了20年 ， 求他能活50年的概率是多少是一樣的 。
λ=1/θ 只是表示方式不同 ， 通常課本用的1/θ ， 但是考研大綱寫(xiě)的是λ ， 考研大綱一直沒(méi)修改過(guò) ， 所以網(wǎng)上搜的時(shí)候很多都是考研的用λ 。 其實(shí)都一樣的 ， 現(xiàn)在更傾向于θ用著更方便 ， 直接報(bào)數(shù)就行了不用再轉(zhuǎn)倒數(shù) 。
泊松分布適用于描述每單位時(shí)間（或空間）的隨機(jī)事件數(shù) 。 例如 ， 某一時(shí)間到達(dá)服務(wù)設(shè)施的人數(shù)、電話(huà)交換所接到的呼叫數(shù)、公共汽車(chē)站等候的客人數(shù)、機(jī)器故障數(shù)、自然災(zāi)害數(shù)、產(chǎn)品缺陷數(shù)、B數(shù) 。 在顯微鏡下分布在單位面積的細(xì)菌等 。
的一個(gè)重要特征是無(wú)記憶性（MemorylessProperty ， 又稱(chēng)遺失記憶性） 。 這表示如果一個(gè)隨機(jī)變量呈指數(shù)分布 ， 當(dāng)s ， t>0時(shí)有P（T>t+s|T>t）=P（T>s） 。 即 ， 如果T是某一元件的壽命 ， 已知元件使用了t小時(shí) ， 它總共使用至少s+t小時(shí)的條件概率 ， 與從開(kāi)始使用時(shí)算起它使用至少s小時(shí)的概率相等 。
f(z)=(αβ/(β-α))(exp(-αz)-exp(-βz))
分布相加得到的分布還是原來(lái)的分布 。 因?yàn)閚個(gè)均勻分布隨機(jī)變量相加得到的新的隨機(jī)變量符合高斯分布 ， 這叫中心極限定理 。
指數(shù)分布與分布指數(shù)族的分類(lèi)不同 ， 后者是包含指數(shù)分布作為其成員之一的大類(lèi)概率分布 ， 也包括正態(tài)分布 ， 二項(xiàng)分布 ， 伽馬分布 ， 泊松分布等等 。
指數(shù)函數(shù)的一個(gè)重要特征是無(wú)記憶性 。 這表示如果一個(gè)隨機(jī)變量呈指數(shù)分布 ， 當(dāng)s、t>0時(shí)有P(T>t+s|T>t)=P(T>s) 。 即 ， 如果T是某一元件的壽命 ， 已知元件使用了t小時(shí) ， 它總共使用至少s+t小時(shí)的條件概率 ， 與從開(kāi)始使用時(shí)算起它使用至少s小時(shí)的概率相等 。
指數(shù)分布雖然不能作為機(jī)械零件功能參數(shù)的分布規(guī)律 ， 但是 ， 它可以近似地作為高可靠性的復(fù)雜部件、機(jī)器或系統(tǒng)的失效分布模型 ， 特別是在部件或機(jī)器的整機(jī)試驗(yàn)中得到廣泛的應(yīng)用 。

指數(shù)分布無(wú)記憶性


指數(shù)分布的圖形表面上看與冪律分布很相似 ， 實(shí)際兩者有極大不同 ， 指數(shù)分布的收斂速度遠(yuǎn)快過(guò)冪律分布 。
某種產(chǎn)品或零件經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t0的工作后 ， 仍然如同新的產(chǎn)品一樣 ， 不影響以后的工作壽命值 ， 或者說(shuō) ， 經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t0的工作之后 ， 該產(chǎn)品的壽命分布與原來(lái)還未工作時(shí)的壽命分布相同 。
顯然 ， 指數(shù)分布的這種特性 ， 與機(jī)械零件的疲勞、磨損、腐蝕、蠕變等損傷過(guò)程的實(shí)際情況是完全矛盾的 ， 它違背了產(chǎn)品損傷累積和老化這一過(guò)程 。 所以 ， 指數(shù)分布不能作為機(jī)械零件功能參數(shù)的分布形式 。
許多電子產(chǎn)品的壽命分布一般服從指數(shù)分布 。 有的系統(tǒng)的壽命分布也可用指數(shù)分布來(lái)近似 。 它在可靠性研究中是最常用的一種分布形式 。 指數(shù)分布是伽瑪分布和威布爾分布的特殊情況 ， 產(chǎn)品的失效是偶然失效時(shí) ， 其壽命服從指數(shù)分布 。
指數(shù)分布可以看作當(dāng)威布爾分布中的形狀系數(shù)等于1的特殊分布 ， 指數(shù)分布的失效率是與時(shí)間t無(wú)關(guān)的常數(shù) ， 所以分布函數(shù)簡(jiǎn)單 。

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