羅爾（Rolle）中值定理是微分學中一條重要的定理 ， 是三大微分中值定理之一 ， 其他兩個分別為：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理 。
羅爾定理描述如下：
如果 R 上的函數 f(x) 滿足以下條件：
（1）在閉區(qū)間 [a,b] 上連續(xù)
（2）在開區(qū)間 (a,b) 內可導
（3）f(a)=f(b) ， 則至少存在一個 ξ∈(a,b) ， 使得 f'(ξ)=0 。
擴展資料
證明：因為函數 f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù) ， 所以存在最大值與最小值 ， 分別用 M 和 m 表示 ， 分兩種情況討論：
1. 若 M=m ， 則函數 f(x) 在閉區(qū)間 [a,b] 上必為常函數 ， 結論顯然成立 。
2. 若 M>m ， 則因為 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內某點ξ處取得 ， 從而ξ是f(x)的極值點 ， 又條件 f(x) 在開區(qū)間 (a,b) 內可導得 ， f(x) 在 ξ 處取得極值 ， 由費馬引理 ， 可導的極值點一定是駐點 ， 推知：f'(ξ)=0 。
【什么是羅爾中值定理】另證：若 M>m ， 不妨設f(ξ)=M ， ξ∈(a,b) ， 由可導條件知 ， f'(ξ+)<=0 ， f'(ξ-)>=0 ， 又由極限存在定理知左右極限均為 0 ， 得證 。
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