之前對(duì)隱零點(diǎn)問題至少做過五次的解析，但內(nèi)容較為分散，單篇內(nèi)容更多是強(qiáng)調(diào)了隱零點(diǎn)用法中的一個(gè)問題，今天將隱零點(diǎn)問題從邏輯上到技巧上做一次最終版本的完整總結(jié)，關(guān)于隱零點(diǎn)問題可能也會(huì)是視頻課程中的首次內(nèi)容 。
一、什么時(shí)候用隱零點(diǎn)來處理導(dǎo)數(shù)題目
隱零點(diǎn)是用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求最值常規(guī)方法的補(bǔ)充 ， 而求最值和判斷單調(diào)性是所有導(dǎo)數(shù)大題共有的解題基?。?因此這部分內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)的基本功，如果嘗試在導(dǎo)數(shù)壓軸大題上爭取更高的分?jǐn)?shù)，則隱零點(diǎn)問題必須熟練掌握 。
常規(guī)用導(dǎo)數(shù)求最值有以下三種層層遞進(jìn)的方法：一是常規(guī)一階求導(dǎo)，此時(shí)要求導(dǎo)函數(shù)f'(x)必須能求出零點(diǎn)或者能直接判斷出導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)不變號(hào)(保號(hào))，在這里還需要熟練掌握常見的八種導(dǎo)數(shù)模型的單調(diào)性，最值以及圖像走勢(shì)；二是用二階導(dǎo)函數(shù)求最值，當(dāng)一階導(dǎo)函數(shù)無法求零點(diǎn)且無法判斷正負(fù)時(shí)，需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)數(shù)(若一階導(dǎo)函數(shù)為分式形式，只需對(duì)無法判斷正負(fù)的分子或分母求導(dǎo)數(shù)即可，若導(dǎo)函數(shù)為整式形式有時(shí)候也只需部分求導(dǎo)即可，因題而定)，通過二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)(保號(hào))來確定一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性 ， 進(jìn)而確定出在定義域內(nèi)一階導(dǎo)函數(shù)是否是保號(hào)的，但值得留意的是并非一階導(dǎo)無法求根或判斷符號(hào)就必須采用二階導(dǎo)，此時(shí)可事先對(duì)f(x)的形式進(jìn)行觀察變形，若f(x)中存在指數(shù)或?qū)?shù) ， 可遵循指數(shù)構(gòu)乘除，對(duì)數(shù)構(gòu)加減的原則來對(duì)原函數(shù)作預(yù)處理，常規(guī)二階導(dǎo)數(shù)的使用場景用下圖來說明：
以上圖f''(x)≥0在區(qū)間(m,n)上恒成立為例，此時(shí)f'(x)在(m,n)上單增，若對(duì)應(yīng)的是case1和case2，則很容易看出在給定區(qū)間內(nèi)f'(x)保號(hào) ， f(x)具有明確的單調(diào)性，在定義域的兩端點(diǎn)取得對(duì)應(yīng)的最值；若對(duì)應(yīng)的是case3這種情況，f'(x)單增且存在一個(gè)零點(diǎn) ， 那么f(x)的增減趨勢(shì)為先減后增，在圖示x=x0處取得極小值 。
以上三種求最值的方法層層遞進(jìn) ， 隱零點(diǎn)其實(shí)是二階導(dǎo)的補(bǔ)充，因?yàn)楦呷龜?shù)學(xué)中導(dǎo)函數(shù)常常以初等函數(shù)運(yùn)算的形式出現(xiàn)的超越函數(shù)，因此隱零點(diǎn)的使用場景還是很多的 。
二、隱零點(diǎn)問題中的三個(gè)關(guān)鍵處理環(huán)節(jié)
環(huán)節(jié)1.隱零點(diǎn)存在的證明 。
這里又分為兩種情況 ， 第一種若可參變分離，此時(shí)右側(cè)函數(shù)中不含參數(shù)，若f'(x)單增，只需帶入特定的數(shù)字來判斷隱零點(diǎn)的存在即可，這種題目是最簡單的，第二種若函數(shù)不可參變分離 ， 則對(duì)函數(shù)整體進(jìn)行單調(diào)性討論的時(shí)候證明單增導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)時(shí)就需要用到特定的選點(diǎn)法了 ， 有時(shí)可通過經(jīng)驗(yàn)選擇特定的點(diǎn)帶入可直接判斷出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù) ， 但更多是需要采用和零點(diǎn)證明中一樣的放縮取點(diǎn)法了，而這種方法實(shí)際運(yùn)用起來很注重技巧，之前在導(dǎo)數(shù)放縮中給出過相關(guān)的技巧展示，后續(xù)會(huì)以專門的篇幅來給以說明 。
環(huán)節(jié)2.對(duì)最值f(x0)的化簡 。
注意為什么把化簡放到了第二位而把隱零點(diǎn)范圍的確定放到了第三位，是因?yàn)閷?duì)隱零點(diǎn)所在范圍的重新確定需要根據(jù)f(x0)化簡之后的形式來進(jìn)一步確定，在用f'(x0)=0對(duì)f(x0)進(jìn)行化簡時(shí)，化簡結(jié)果一般是一個(gè)可以直接觀察單調(diào)性和求最值的簡潔式子，例如常數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，飄帶函數(shù)等等，若化簡之后依舊是一個(gè)具有一定復(fù)雜度的表達(dá)式，則極有可能說明化簡不完善不徹底 。
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