泰勒公式的使用條件,泰勒公式趨于0才能用嗎 。發(fā)跡號帶你了解更多相關(guān)信息 。微分中值定理中介紹過泰勒中值定理(帶有拉格朗日型余項的泰勒公式)，它可以用柯西中值定理證明 。不過這里還是先推導(dǎo)出帶有佩亞諾型余項的泰勒公式，然后自然地過渡到帶有拉格朗日型余項
泰勒公式的使用條件,泰勒公式趨于0才能用嗎 。發(fā)跡號帶你了解更多相關(guān)信息 。
微分中值定理中介紹過泰勒中值定理(帶有拉格朗日型余項的泰勒公式)，它可以用柯西中值定理證明 。不過這里還是先推導(dǎo)出帶有佩亞諾型余項的泰勒公式，然后自然地過渡到帶有拉格朗日型余項的泰勒公式 。
根據(jù)微分的定義可知，若函數(shù)f在點x0可導(dǎo)，則有
即用
的一次多項式
逼近
其誤差為
的高階無窮小
進(jìn)一步，猜測可以用的n次多項式逼近其誤差為
現(xiàn)在先考慮
為n次多項式
的情形 。逐次求它在點x0的各階導(dǎo)數(shù)，得到
即
由此可見上述多項式函數(shù)的各項系數(shù)由其在點x0的各階導(dǎo)數(shù)唯一確定 。
類似的，對于一般函數(shù)
設(shè)它在點x0處存在1到n階的導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在嘗試由過點x0，且在點x0處的從1到n階導(dǎo)數(shù)分別與
在點x0處的1到n階導(dǎo)數(shù)相等的n次多項式
(也稱為函數(shù)f在點x0的泰勒多項式，各項系數(shù)稱為泰勒系數(shù))來逼近該函數(shù)，并證明其誤差為定理
若函數(shù)f在點x0存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則有
證:設(shè)現(xiàn)在只需要證明
由于
在x0處的值及1至n階導(dǎo)數(shù)相等，可知
另外容易得到
由于
存在，所以在x0的某鄰域U(x0)上f有定義，且存在直至n-1階導(dǎo)函數(shù) 。于是，當(dāng)
時，連續(xù)使用洛必達(dá)法則可以得到
形如
的余項叫作佩亞諾型余項，定理中的式子又叫帶有佩亞諾型余項的泰勒公式，當(dāng)x0=0時，又叫作帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式 。
帶有佩亞諾型余項的泰勒公式表明用多項式逼近滿足定理條件的函數(shù)時，其誤差(余項)是
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