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幾何直觀是數(shù)學(xué)思想嗎數(shù)學(xué)中的直觀主要包含三種

由此定義不難證明牛頓-萊布尼茲公式

而積分的一些其他基本性質(zhì)如

(r, s為實(shí)數(shù))，分部積分法、換元法以及一些初等函數(shù)的積分等，利用牛頓-萊布尼茲公式都很容易證明 (有些甚至可以作為習(xí)題) 。利用張景中先生制作的輔助軟件，一堂課就足以講清楚積分的基本概念和牛頓-萊布尼茲公式，這已經(jīng)超過中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求了。至于黎曼積分的原始思想——分割成豎條作面積和再取極限，可以直觀地講一下，不講也可以，不需要花費(fèi)很多課時(shí)，其實(shí)只有少數(shù)學(xué)生會(huì)關(guān)注。
再來看線性代數(shù)教程 ?！跋蛄俊笔亲钪匾幕靖拍钪?。在目前所見到的很多教科書 (其中有些是早年的) 中，向量定義為有序數(shù)組。這樣的定義不僅費(fèi)解 (與解析幾何中的定義相距甚遠(yuǎn))，而且向量的運(yùn)算還要另外定義。一般說來，要直到學(xué)了很多內(nèi)容后才明白向量是什么。
這樣的定義有明顯的缺陷，沒有揭露向量的本質(zhì) 。詳言之，有序數(shù)組是向量在取定的坐標(biāo)系下的表達(dá)，是“how”層面的，而好的定義應(yīng)該是“what”層面的。
從“what”層面看，向量就是向量空間的元素，脫離向量空間來討論向量是沒有意義的。向量的運(yùn)算，都涉及多個(gè)向量以及它們之間的關(guān)系。所以，要明白什么是向量，歸根結(jié)底要明白向量空間。
然而，很多線性代數(shù)教科書中根本就沒有向量空間。即使有，很多教師也不講。常見的理由是，向量空間太“抽象”，學(xué)生難以理解。那么，基于向量空間的很多概念和定理，當(dāng)然就更不能講了。
其實(shí)向量空間的概念并不算很“抽象”，國外一些大學(xué)本科代數(shù)教科書是先講群論后講線性代數(shù)，顯然比我國的線性代數(shù)或高等代數(shù)教科書更“抽象” 。另一方面，我國現(xiàn)在的中學(xué)生都要花很多工夫?qū)W集合，但從教科書上看不到有什么用（除了刷題）。若是對(duì)于向量空間概念的高明之處有所領(lǐng)悟，至少會(huì)覺得集合是有用的。所以，至少有一部分學(xué)生理解向量空間并無困難。而對(duì)于有困難的學(xué)生，需要教育者的耐心，例如可以采取如下的途徑講授。
注意學(xué)生在解析幾何中學(xué)過平面向量和空間向量，而且知道一些物理應(yīng)用。在初等的數(shù)學(xué)和物理教科書中一般會(huì)講向量的直觀，即“既有大小又有方向的量”，而且較好的教科書中還會(huì)指出，這只是一種直觀，并非既有大小又有方向就是向量 (例如電流) 。學(xué)生通過物理意義可以對(duì)向量有正確的理解，盡管還沒有向量空間的概念。那么，從向量的這些直觀概念推進(jìn)到一般的向量空間，本質(zhì)上只是維數(shù)可以不受限制。因此，可以先復(fù)習(xí)解析幾何中的平面向量和空間向量，包括它們的直觀意義和物理應(yīng)用，然后系統(tǒng)地復(fù)習(xí)和整理向量的運(yùn)算，再復(fù)習(xí)和整理向量在直角坐標(biāo)系下的表達(dá) 。然后舉例說明高維的向量也是有數(shù)學(xué)和物理意義的。由此引導(dǎo)到一般的向量空間，就不很“抽象”和難于理解了。當(dāng)然這需要多花費(fèi)一些時(shí)間，但對(duì)于后面的學(xué)習(xí)是有利的。

還值得指出，一般不能說定義的對(duì)錯(cuò)（Yuri Zarhin 曾無奈地說: “Well，every definition is correct”），只能說定義的優(yōu)劣。一個(gè)好的定義能夠揭示客觀存在或自然規(guī)律，啟迪思維，引導(dǎo)有意義的研究方向。在極端的情形，甚至一個(gè)好的定義就解決了問題。遺憾的是很多定義有缺陷。有的教科書將直觀當(dāng)作定義，毫無科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性可言，有些還頗為費(fèi)解，或語義含混，或幾乎是同義反復(fù)（參看 [2]），這些都是誤人子弟。有些定義雖然嚴(yán)謹(jǐn)，但沒有背景，不自然（有人為設(shè)置的條件），在極端的情形甚至所定義的東西根本不存在。盡管由這樣的定義可以推導(dǎo)出一些定理，可以寫論文發(fā)表，但對(duì)科學(xué)并無貢獻(xiàn)，也不會(huì)有應(yīng)用，只是邏輯游戲而已。還有一類情形，雖然所定義的對(duì)象是客觀存在且值得研究的，但定義的條件復(fù)雜或費(fèi)解（如上面所說的將表達(dá)作為定義），尤其不利于初學(xué)者。其中有些還可能導(dǎo)致偏見或心理障礙。