日本免费全黄少妇一区二区三区-高清无码一区二区三区四区-欧美中文字幕日韩在线观看-国产福利诱惑在线网站-国产中文字幕一区在线-亚洲欧美精品日韩一区-久久国产精品国产精品国产-国产精久久久久久一区二区三区-欧美亚洲国产精品久久久久

  1. 首頁(yè) > 云知道 > >

幾何直觀是數(shù)學(xué)思想嗎 數(shù)學(xué)中的直觀主要包含三種( 二 )

云知道


但若在中學(xué)或大學(xué)數(shù)學(xué)教程中以“無限不循環(huán)小數(shù)”作為無理數(shù)的定義，則是非常不明智的，非但不能使學(xué)生明白，反而會(huì)使很多學(xué)生誤以為懂了 。如 [4] 中所說:
“不怕不懂，就怕不懂還自以為懂 ?！?br /> 再來看平面幾何 。在幾何教科書中有很多定義，但這些定義都不是“原始”的，原始的概念如點(diǎn)、直線、平面等都是只有直觀沒有定義的，但它們由公理體系界定 。用現(xiàn)代的語言，幾何對(duì)象可以定義為滿足一些條件 (公理) 的若干集合所組成的體系 。硬要定義直線、平面等是不會(huì)有好結(jié)果的，所幸還沒聽說有這樣的教科書 。
不過在現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)編教科書中，很多幾何概念的定義有嚴(yán)重缺陷，例如把直觀當(dāng)作定義，或語義含混 (詳見 [2]) 。
回過頭來再看實(shí)數(shù)的概念 。非常值得一提的是數(shù)軸的直觀 。將實(shí)數(shù)理解為數(shù)軸上的點(diǎn)，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生是理解實(shí)數(shù)（包括無理數(shù)）的一個(gè)有效途徑 。有了無理數(shù)的例子，再有數(shù)軸的直觀，對(duì)于普通學(xué)生就可以有效地講授實(shí)數(shù)概念 。換言之，幾何直觀是理解實(shí)數(shù)的一個(gè)有效途徑，對(duì)于中學(xué)生是不可或缺的 。
對(duì)于多數(shù)學(xué)生有較高難度的定義還有一些，如概率 。對(duì)于這類概念，只講直觀而不講定義，常常是明智的 。但常常還需要給出表達(dá)方式，并進(jìn)一步給出“操作”（如計(jì)算）方法 。這樣學(xué)生就能夠運(yùn)用這些概念，做出有創(chuàng)新性的工作，盡管可能最終也沒有完全搞懂某個(gè)概念 。此外，通過應(yīng)用也有可能提升對(duì)于概念的理解 。
簡(jiǎn)言之，如果學(xué)生能理解，直接講定義對(duì)于建立數(shù)學(xué)概念最有效；而若大多數(shù)學(xué)生不能理解，最起碼也不應(yīng)該講假的定義，或者忽悠學(xué)生 。
在大學(xué)數(shù)學(xué)教程中也有定義方面的問題 。
先來看微積分教程 。隨便找一本微積分（或數(shù)學(xué)分析）教科書，就會(huì)看到其中積分（黎曼積分）的定義頗不簡(jiǎn)單 。在數(shù)學(xué)分析教程中，一元函數(shù)的積分定義為一個(gè)頗不平凡的極限，判別其存在性還要用到達(dá)布和等，相當(dāng)復(fù)雜而費(fèi)解 。在非數(shù)學(xué)專業(yè)的微積分教程中，這部分內(nèi)容只是簡(jiǎn)化了些（實(shí)際上是偷工減料），復(fù)雜度基本未變，所以未必比數(shù)學(xué)分析教科書容易懂；但另一方面，對(duì)這些內(nèi)容都不會(huì)布置作業(yè)，更不會(huì)考試（包括研究生入學(xué)考試），徒然浪費(fèi)時(shí)間且讓學(xué)生頭疼 。
順便指出，各版本中學(xué)教科書中的積分概念也是這樣寫的，對(duì)于中學(xué)生當(dāng)然就更頭疼了，甚至很多中學(xué)教師也看不懂 。
學(xué)過實(shí)變函數(shù)論就知道，一元函數(shù)黎曼可積等價(jià)于幾乎處處連續(xù)，直觀地說，其實(shí)離連續(xù)函數(shù)沒多遠(yuǎn) 。在黎曼積分的應(yīng)用中實(shí)際上主要是針對(duì)連續(xù)函數(shù)，至多是分段連續(xù)函數(shù) 。對(duì)于一般的學(xué)生，由黎曼積分其實(shí)只是學(xué)到面積的一個(gè)定義，何況這還不是一般的定義，例如一條一般的約當(dāng)單閉曲線所圍成的區(qū)域的面積，就不能用黎曼積分來定義（在康妥的時(shí)代就知道，曲線可能有非零的面積） 。所以，花了那么多的時(shí)間那么大的功夫?qū)W黎曼積分，只是學(xué)到一個(gè)特殊情形的面積定義而已 。然而，一般人都有面積的直觀，并不需要面積的定義 。（如果關(guān)心面積的定義，可以看勒貝格積分或更一般的定義，如動(dòng)力系統(tǒng)中對(duì)于維數(shù)和測(cè)度的定義 。）因此，為了理解積分的概念，至少對(duì)大多數(shù)學(xué)生，不如局限于連續(xù)函數(shù)的積分 。
如果將連續(xù)函數(shù)的積分定義為“有向面積”，就很容易理解且不需要花多少功夫 。具體說，對(duì)于閉區(qū)間 [a, b] 上的連續(xù)函數(shù) f(x)，由直線 x=a，x=b，y=0 和曲線y=f(x) 圍成的圖形具有面積，將直線 y=0 上方的面積看作正的，下方的面積看作負(fù)的，這樣得到的總面積稱為有向面積 。將 f(x) 在 [a, b] 上給出的有向面積稱為它的積分，記為

推薦閱讀