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什么是合數(shù)？與質(zhì)數(shù)的區(qū)別與概念

小知識

一．概念描述
現(xiàn)代數(shù)學：一個大于1的整數(shù) ， 如果除1和它本身以外 ， 沒有其他的約數(shù) ， 這樣的數(shù)就叫作質(zhì)數(shù) ， 也叫素數(shù) 。一個大于1的整數(shù) ， 如果除了1和它本身以外 ， 還有其他的約數(shù) ， 這樣的數(shù)就叫作合數(shù) 。
小學數(shù)學：2004年北京版教材第10冊第56頁提出：一個數(shù)除了1和它本身 ， 不再有別的約數(shù) ， 這個數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（也叫作素數(shù)） ?！獋€數(shù)除了1和它本身 ， 還有別的約數(shù) ， 這個數(shù)叫作合數(shù) 。
2013年人教版教材五年級下冊第23頁提出：一個數(shù) ， 如果只有1和它本身兩個因數(shù) ， 這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（或素數(shù)） 。一個數(shù) ， 如果除了1和它本身還有別的因數(shù) ， 這樣的數(shù)叫作合數(shù) 。
二．概念解讀
①由質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念可以知道 ， 在非0的自然數(shù)中 ， 1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù) 。歷史上曾將1也包含在質(zhì)數(shù)之內(nèi) ， 但后來為了算術基本定理 ， 最終1被數(shù)學家排除在質(zhì)數(shù)之外 。在小學階段 ， 學生學習質(zhì)數(shù)和合數(shù) ， 是為后面學習求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)以及約分、通分打下基礎 。
②在數(shù)論中 ， 質(zhì)數(shù)有著重要的地位 ， 一直吸引著許多數(shù)學家們不斷去探索 。2500年前 ， 古希臘數(shù)學家歐幾里得證明了質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無限的 ， 并提出少量質(zhì)數(shù)可寫成“2的n次方減1”的形式—這里n也是一個質(zhì)數(shù) 。此后 ， 許多數(shù)學家曾對這種質(zhì)數(shù)進行研究 。17世紀的法國教士梅森是其中成果較為卓著的一位 ， 因此后人將“2的n次方減1”形式的質(zhì)數(shù)稱為梅森質(zhì)數(shù) 。
由于梅森質(zhì)數(shù)有許多獨特的性質(zhì)和無窮的魅力 ， 千百年來一直吸引著眾多的數(shù)學家 ， 如歐幾里得、費馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈等和無數(shù)的業(yè)余數(shù)學愛好者對它進行研究和探尋 。目前 ， 人類僅發(fā)現(xiàn) 47個梅森質(zhì)數(shù) 。其中最大的質(zhì)數(shù)是第46個梅森質(zhì)數(shù)“2的43112609次方-1” ， 該質(zhì)數(shù)有12978189位 。如果用常用的二號字將這個巨數(shù)連續(xù)寫下來 ， 其長度可超過50千米！是否有無窮多個梅森質(zhì)數(shù)是數(shù)論中未解決的難題之一 。由于這種質(zhì)數(shù)珍奇而迷人 ， 因此被人們譽為“數(shù)海明珠” 。
特別值得一提的是 ， 我國數(shù)學家和語言學家周海中于1992年首先給出了梅森質(zhì)數(shù)分布的準確表達式 ， 從而揭示了梅森質(zhì)數(shù)的重要規(guī)律 ， 為人們探尋梅森質(zhì)數(shù)提供了方便 。后來這一成果被學術界命名為“周氏猜測” 。
梅森質(zhì)數(shù)在當代具有十分豐富的理論意義和實用價值 。它是發(fā)現(xiàn)已知最大質(zhì)數(shù)的最有效途徑 。它的探究推動了數(shù)學皇后—數(shù)論的研究 ， 促進了計算技術 ， 程序設計技術 ， 網(wǎng)絡技術 ， 密碼技術的發(fā)展以及快速傅里葉變換的應用 。
由于探尋梅森質(zhì)數(shù)需要多種學科和技術的支持 ， 所以許多科學家認為：梅森質(zhì)數(shù)的研究成果 ， 在一定程度上反映了一個國家的科技水平 。英國頂尖科學家馬克斯·索托伊甚至認為 ， 它是人類智力發(fā)展在數(shù)學上的一個標志 ， 也是科學發(fā)展的里程碑 。
③質(zhì)數(shù)的應用 。
質(zhì)數(shù)近來被利用在密碼學上 ， 所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時加入質(zhì)數(shù) ， 編碼之后傳送給收信人 。任何人收到此信息后 ， 若沒有此收信人所擁有的密鑰 ， 則解密的過程中（實為尋找質(zhì)數(shù)的過程） ， 將會因為找質(zhì)數(shù)的過程過久 ， 使得即使取得佶息也會無意義 。

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