【直角三角形斜邊中線定理】證法1：
δabc是直角三角形 ， 作ab的垂直平分線n交bc于d
∴
ad=bd（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等）
以db為半徑 ， d為圓心畫弧 ， 與bc在d的另一側(cè)交于c'
∴dc’=ad=bd∴∠bad=∠abd
∠c’ad=∠ac’d
（等邊對(duì)等角）
又∵∠bad+∠abd+∠c’ad+∠ac’d
=180°（三角形內(nèi)角和定理）
∴∠bad+∠c’ad=90°
即：∠bac’=90°
又∵∠bac=90°
∴∠bac=∠bac’
∴c與c’重合（也可用垂直公理證明
：假使c與c’不重合
由于ca⊥ab ， c’a⊥ab
故過a有ca、c’a兩條直線與ab垂直
這就與垂直公理矛盾
∴假設(shè)不成立
∴c與c’重合）
∴dc=ad=bd∴ad是bc上的中線且ad=bc/2這就是直角三角形斜邊上的中線定理
證法2：
δabc是直角三角形 ， ad是bc上的中線 ， 作ab的中點(diǎn)e ， 連接de
∴bd=cb/2 ， de是δabc的中位線
∴de‖ac（三角形的中位線平行于第三邊）
∴∠deb=∠cab=90°（兩直線平行 ， 同位角相等）
∴de⊥ab
∴de是ab的垂直平分線
∴ad=bd（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等）
∴ad=cb/2
證法3：運(yùn)用向量證明
已知rt△abc中 ， ∠bac=90° ， ad是中線 。 求證bc=2ad
證明：設(shè)向量ac=b ， 向量ab=c ， 向量bc=a ， 向量ad=d
∵ad是bc的中線
∴c+b=2d
∴（c+b）²=4d²
展開括號(hào) ， 得|c|²+2c·b+|b|²=4|d|²
又∵c⊥b
∴c·b=0 ， |c|²+|b|²=|a|²
∴得|a|²=4|d|²
開方得|a|=2|d| ， 即bc=2ad
證法4：運(yùn)用矩形的性質(zhì)證明
延長ad到e,使de=ad,連接be,ce
∵bd=cd ， ∠bac=90°
∴四邊形abec是矩形
∴bc=ae=2ad
證法5：解析幾何證明
以a為原點(diǎn) ， ac為x軸 ， ab為y軸建立直角坐標(biāo)系 ， 并設(shè)c（2c,0） ， b（0 ， 2b） ， 那么d（c ， b）
|ad|=
|bc|===2|ad|
證法6：圓
作rt△abc外接圓
∵∠bac=90°
∴ab是直徑（90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑）
∴d是圓心 ， ad是半徑
∴bc=2ad
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