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勾股定理怎么證明

小知識(shí)

歐幾里得證法：
【勾股定理怎么證明】在歐幾里得的《幾何原本》一書(shū)中給出勾股定理的以下證明 。 設(shè)△ABC為一直角三角形 ， 其中A為直角 。 從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊 ， 使其垂直于對(duì)邊 。 延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二 ， 其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等 。
在這個(gè)定理的證明中 ， 我們需要如下四個(gè)輔助定理：
1、如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等 ， 則兩三角形全等 。 （SAS）
2、三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半 。
3、任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積 。
4、任意一個(gè)矩形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積（據(jù)輔助定理3） 。
 
證明的思路為：從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊 ， 使其垂直于對(duì)邊 。 延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二 ， 把上方的兩個(gè)正方形 ， 通過(guò)等高同底的三角形 ， 以其面積關(guān)系 ， 轉(zhuǎn)換成下方兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形 。

勾股定理怎么證明



設(shè)△ABC為一直角三角形 ， 其直角為∠CAB 。
其邊為BC、AB和CA ， 依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH 。
畫(huà)出過(guò)點(diǎn)A之BD、CE的平行線 ， 分別垂直BC和DE于K、L 。
分別連接CF、AD ， 形成△BCF、△BDA 。
∠CAB和∠BAG都是直角 ， 因此C、A和G共線 ， 同理可證B、A和H共線 。
∠CBD和∠FBA都是直角 ， 所以∠ABD=∠FBC 。
因?yàn)锳B=FB ， BD=BC ， 所以△ABD≌△FBC 。
因?yàn)锳與K和L在同一直線上 ， 所以四邊形BDLK=2△ABD 。
因?yàn)镃、A和G在同一直線上 ， 所以正方形BAGF=2△FBC 。
因此四邊形BDLK=BAGF=AB² 。
同理可證 ， 四邊形CKLE=ACIH=AC² 。
把這兩個(gè)結(jié)果相加 ， AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL ， BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是個(gè)正方形 ， 因此AB²+AC²=BC² ， 即a²+b²=c² 。
擴(kuò)展資料：勾股定理意義：
1、勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端 。
2、勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理 ， 即它是第一個(gè)把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)的定理 。
3、勾股定理導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn) ， 引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī) ， 大大加深了人們對(duì)數(shù)的理解 。
4、勾股定理是歷史上第—個(gè)給出了完全解答的不定方程 ， 它引出了費(fèi)馬大定理 。
5、勾股定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理 ， 并有巨大的實(shí)用價(jià)值．這條定理不僅在幾何學(xué)中是一顆光彩奪目的明珠 ， 被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石” ， 而且在高等數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用 。
6、1971年5月15日 ， 尼加拉瓜發(fā)行了一套題為“改變世界面貌的十個(gè)數(shù)學(xué)公式”郵票 ， 這十個(gè)數(shù)學(xué)公式由著名數(shù)學(xué)家選出的 ， 勾股定理是其中之首 。

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