【傅里葉變換的性質(zhì)】傅里葉變換的線性 ， 是指兩函數(shù)的線性組合的傅里葉變換 ， 等于這兩個(gè)函數(shù)分別做傅里葉變換后再進(jìn)行線性組合的結(jié)果 。 具體而言 ， 假設(shè)函數(shù) 和 的傅里葉變換 和 都存在 ， 和 為任意常系數(shù) ， 則有
若函數(shù) 的傅里葉變換為 ， 則對(duì)任意的非零實(shí)數(shù) ， 函數(shù) 的傅里葉變換 存在 ， 且等于
對(duì)于 的情形 ， 上式表明 ， 若將 的圖像沿橫軸方向壓縮 倍 ， 則其傅里葉變換的圖像將沿橫軸方向展寬 倍 ， 同時(shí)高度變?yōu)樵瓉?lái)的 。 對(duì)于 的情形 ， 還會(huì)使得傅里葉變換的圖像關(guān)于縱軸做鏡像對(duì)稱 。 若函數(shù) 的傅里葉變換為 ， 則存在
若函數(shù) 的傅里葉變換為 ， 則對(duì)任意實(shí)數(shù) ， 函數(shù) 也存在傅里葉變換 ， 且其傅里葉變換 等于
也就是說(shuō) ， 可由 向右平移 得到 。 若函數(shù) 的傅里葉變換為 ， 且其導(dǎo)函數(shù) 的傅里葉變換存在 ， 則有
即導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子 。 更一般地 ， 若 的 階導(dǎo)數(shù) 的傅里葉變換存在 ， 則
即 階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子 。 若函數(shù) 以及 都在 上絕對(duì)可積 ， 則卷積函數(shù)
的傅里葉變換存在 ， 且
若 的傅里葉變換為 ， 的傅里葉變換為 ， 則有
若函數(shù) 以及 平方可積 ， 二者的傅里葉變換分別為 與 ， 則有
上式被稱為Parseval定理 。 特別地 ， 對(duì)于平方可積函數(shù) ， 有
上式被稱為Plancherel定理 。 這兩個(gè)定理表明 ， 傅里葉變換是平方可積空間 上的一個(gè)運(yùn)算符（若不考慮因子 ） 。
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