在中國文化里，有句成語這么說道：九九歸一，意思是算來算去最后還是回到最初 ， 還了原，歸根結(jié)底也算是九九歸原 。
這句成語蘊含著周而復(fù)始的意思，在數(shù)學(xué)里也得到完美的體現(xiàn) 。我們從整數(shù)0開始數(shù)1 ， 2，3，4，5 ， 6,7,8,9 ， 經(jīng)過十進制的處理，又從0開始 。
我們再來看下面這樣一個算式：
1/3×3=1.
對于這樣的等式計算，大家都很容易理解 。
不過，有些人卻提出異議：
認(rèn)為1/3=0.333……（無限循環(huán)小數(shù)）；
所以1/3×3=0.333……×3=0.999……（無限循環(huán)小數(shù)）
又因為1/3×3=1，
所以0.999……=1 ， 但0.999……=1嗎？
對于無限循環(huán)小數(shù)0.999……，我們從常規(guī)的角度去理解，就是小數(shù)點后面有無數(shù)個9，不過，這里有個疑問：
0.9＜1 ，
0.99＜1,
0.999＜1，
0.9999＜1，
以此類推，有人就提出這樣的結(jié)論：無限循環(huán)小數(shù)0.999……＜1，最多只能是無限接近于1 。因此，對于“0.999……=1？”這個問題，自從幾百年前被某位數(shù)學(xué)家提出來之后，一直到現(xiàn)在還是一個爭論不休的話題 。雖然很多數(shù)學(xué)家都提出一些比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明方法，但始終無法讓普通人以平常的視角去接受這個等式 。
之后，有人給出了這樣一個的證明過程：
設(shè)x=0.999……①
所以10x=9.999……②
②-①兩式相減得9x=9，
所以x=1.
對于這樣的證明過程，有人認(rèn)為可以把0.999……看成無限個分?jǐn)?shù)的和：
0.999……=9/10+9/100+9/1000+……
因此 ， 這些人認(rèn)為0.999……代表著一個計算過程的結(jié)果，而“1”又是另一個數(shù)，缺少一定的嚴(yán)謹(jǐn)，怎么可以等價起來呢？
問題的爭論的焦點就集中在“0.999……”到底是一個結(jié)果 ， 還是代表著一個過程，這就是數(shù)學(xué)里所謂的二義性 。
什么是二義性？
某個句子存在不只一棵語法樹，則稱該句子是二義性的 。
其實像“0.999…=9/10+9/100+9/1000+……”這個無限的過程，我們也可以理解成一個數(shù) 。
如一開始用“1/3=0.333……”去證明“0.999……=1”，很多人都相信這個證明過程是對的，主要是一開始在潛意識里認(rèn)為第一步“1/3=0.333……”就是對的，基于這樣的原始認(rèn)知 ， 后面的證明過程也就沒有問題 。
從某角度上來看，無論是“1/3=0.333……”還是“0.999……=1”，本質(zhì)上都是一樣，當(dāng)你承認(rèn)其中一個成立的時候，另一個自然也就成立 。不過，無論是哪一種情況，很多人會認(rèn)為0.999……只是無限接近于1，并不能很嚴(yán)謹(jǐn)、很準(zhǔn)確的說明這個值就一定等于1 。
這個問題深耕的結(jié)果 ， 就是造成很多人也認(rèn)為0.333……無限接近于1/3，但并不能直接說明等于1/3 。
雖然在某些算式里，我們已經(jīng)能去證明“0.999……=1”，但在0.999……這個無限循環(huán)小數(shù)里，每增加一個9 ， 無非代表這個數(shù)無限接近于1，但實際上給人的感覺就是0.999……本身是比1小的 。
接近是一回事，等價又是另一回事 。
有的數(shù)學(xué)家就提出新的證明思路，既然有無窮個“9”，那么就用極限的概念去證明 。
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