方程（equation）在數(shù)學(xué)之中有著很高的地位，我們常見的有一次、二次和三次方程等等，并且我們還能通過部分方程的求根公式來進行求解方程的根 。本文主要針對的是一般性的一元 n 次復(fù)系數(shù)方程，即是滿足下圖的方程：
那么由高斯定理可知，滿足上式該 n 次系數(shù)方程的根就有且僅有 n 個 。注意：根據(jù)伽羅瓦群理論 ， 五次及五次以上方程沒有求根公式，即不能以代數(shù)數(shù)的形式寫出方程的根，但是不是說這種方程沒有解，使用超越函數(shù)（如三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）還是可以表示該方程的解 。但是有的時候我們求解某些方程過于繁瑣，且存在約束條件的情況下并不需要完全求解方程，而且若是含有超越數(shù)（如圓周率 π、自然常數(shù) e 等）的方程，求解過程也會略顯困難 。因此人們想要另辟蹊徑，想要找尋其他高效的方式來求解方程，在此期間涌現(xiàn)出了大量的求解方法如：二分法、不動點迭代等 。本文主要介紹另一種優(yōu)化的不動點迭代法——牛頓迭代法（Newton-Iterative-Method） 。
牛頓迭代法也稱為牛頓-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它不僅適用于方程或方程組的求解，還常用于微分方程和積分方程求解，可見它的重要性 。其方法基本原理如下：
設(shè) f(x) ∈ C2 [m，n]，對 f(x) 在 x? ∈ [m，n] 領(lǐng)域內(nèi)對其進行泰勒展開，得如下結(jié)果：
舍去二次項，得到 f(x) 的線性近似式：
這也是關(guān)于 x? 這一點的切線方程，由此得到方程 f(x) = 0 的近似解：
即可得出關(guān)于 x 的迭代格式：
在此給出關(guān)于牛頓法的幾何意義：牛頓迭代法也稱為牛頓切線法，這是由于 f(x) 的線性化近似函數(shù)是曲線 y ＝ f(x) 過點（x?，f(x?)）的切線而得名的，將該零點代之 f(x) 的近似方程以求的零點，即切線 T 與 X 軸交點的橫坐標(biāo) ， 真實的根值為 X* ，牛頓迭代法實質(zhì)上是一種線性化方法，其基本思想是將非線性方程逐步歸結(jié)為某種線性方程來求解 。
那么牛頓迭代法是收斂的嗎？或者說是否對于任意的初始值 x? 都能夠保證該迭代的結(jié)果收斂到 X* ？下面將通過代數(shù)解析的方式來說明其收斂性：
將牛頓迭代式寫成如下形式，即可獲得的不動點迭代形式：
這樣就可以應(yīng)用不動點迭代的收斂原則 ， 只須證明在根 β 附近的迭代函數(shù)是一個壓縮映象，即可證明其收斂性 。由于
這里的根 β 是單根，即 f( β ) = 0 且 f ' (β) ≠ 0，于是：
由于 γ (x) 的連續(xù)性可知，存在一個領(lǐng)域（ β - δ，β + δ )，對該領(lǐng)域內(nèi)的任意 x ，都有 | γ' (x) < q |，其中 0＜q＜1，因此 γ (x) 為區(qū)間（ β - δ，β + δ ) 上的一個壓縮映像，于是我們可以得到如下結(jié)論：
推薦閱讀
- a3紙等于幾開紙 a3紙是幾開的
- 冬天空調(diào)除濕開多少度 空調(diào)除濕模式可千萬別亂用了
- 遙控器打不開電視怎么辦，海爾電視遙控器打不開電視怎么辦
- 車門開關(guān)門嘎吱嘎吱響怎么辦 車門開關(guān)門嘎吱嘎吱響怎么辦視頻
- 優(yōu)活手環(huán)電源怎么打開 優(yōu)活手環(huán)電源怎么打開圖解
- 玫瑰花三月份開花時能換盆嗎？
- 平板wps行距怎么調(diào) wps行距怎么調(diào)
- 身份證610112 310107開頭的身份證是哪里的
- 小學(xué)六年制是什么時候開始實行的貴州 小學(xué)六年制是什么時候開始實行的
- 火力全開2怎么設(shè)置中文 火力全開2怎么設(shè)置中文翻譯