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在訓(xùn)練過程中，

的動力學(xué)分別為：

由此可以看到尺度分離的現(xiàn)象：當(dāng)m很大的時候，

的動力學(xué)幾乎被凍結(jié)住。
這種情形下，好消息是我們有了指數(shù)收斂（Du et al, 2018）；壞消息卻是這時候，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)得并不比從random feature model模型好。
我們也可以從平均場的角度理解梯度下降方法。令：

，并令：

則

是下列梯度下降問題的解：

當(dāng)且僅當(dāng)

是下面方程的解（參考：Chizat and Bach (2018), Mei, Montanari and Nguyen (2018), Rotsko? and Vanden-Eijnden (2018), Sirignano and Spiliopoulos (2018)）：

這一平均場動力學(xué) ，實際上是在Wassenstein度量意義下的梯度動力學(xué) 。人們證明了：如果其初始值

的支集為全空間，且梯度下降的確收斂，那么其收斂結(jié)果必然是全局最優(yōu)（參考：Chizat and Bach (2018,2020), Wojtowytsch (2020)）。
機(jī)器學(xué)習(xí)的應(yīng)用
3.1 解決高維科學(xué)計算問題
既然機(jī)器學(xué)習(xí)是處理高維問題的有效工具，我們便可運(yùn)用機(jī)器學(xué)習(xí)解決傳統(tǒng)計算數(shù)學(xué)方法難以處理的問題。
第一個例子便是隨機(jī)控制問題。傳統(tǒng)方法求解隨機(jī)控制問題需要求解一個極其高維的Bellman方程。運(yùn)用機(jī)器學(xué)習(xí)方法，可以有效求解隨機(jī)控制問題。其思路與殘差神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)頗為類似（參考Jiequn Han and E (2016)）：

第二個例子便是求解非線性拋物方程。非線性拋物方程可以被改寫成一個隨機(jī)控制問題，其極小點是唯一的，對應(yīng)著非線性拋物方程的解。

3.2 AI for science
利用機(jī)器學(xué)習(xí)處理高維問題的能力，我們可以解決更多科學(xué)上的難題。這里我們舉兩個例子。第一個例子是Alphafold 。

參考：J. Jumper et al. (2021)

第二個例子，便是我們自己的工作：深度勢能分子動力學(xué)(DeePMD) 。這是能達(dá)到從頭計算精度的分子動力學(xué) 。我們所使用的新的模擬“范式”便是：
?
利用量子力學(xué)第一性原理計算提供數(shù)據(jù)；
?
利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) ，給出勢能面準(zhǔn)確的擬合（參考：Behler and Parrinello (2007), Jiequn Han et al (2017), Linfeng Zhang et al (2018)）。
運(yùn)用DeePMD，我們能夠模擬一系列材料和分子，可以達(dá)到第一性層面的計算精度：