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北京時(shí)間2022年7月8日晚上22:30 ，鄂維南院士在2022年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作一小時(shí)大會(huì)報(bào)告(plenary talk) 。今天我們帶來鄂老師演講內(nèi)容的分享。鄂老師首先分享了他對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解（函數(shù)逼近、概率分布的逼近與采樣、Bellman方程的求解）；然后介紹了機(jī)器學(xué)習(xí)模型的逼近誤差、泛化性質(zhì)以及訓(xùn)練等方面的數(shù)學(xué)理論；最后介紹如何利用機(jī)器學(xué)習(xí)來求解困難的科學(xué)計(jì)算和科學(xué)問題，即AI for science 。文章作者Hertz 。

機(jī)器學(xué)習(xí)問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)
眾所周知，機(jī)器學(xué)習(xí)的發(fā)展，已經(jīng)徹底改變了人們對(duì)人工智能的認(rèn)識(shí) 。機(jī)器學(xué)習(xí)有很多令人嘆為觀止的成就，例如：
· 比人類更準(zhǔn)確地識(shí)別圖片：利用一組有標(biāo)記的圖片，機(jī)器學(xué)習(xí)算法可以準(zhǔn)確地識(shí)別圖片的類別：

Cifar-10 問題：把圖片分成十個(gè)類別
來源：https://www.cs.toronto.edu/~kriz/cifar.html
· Alphago下圍棋打敗人類：完全由機(jī)器學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)下圍棋的算法：

參考：https://www.bbc.com/news/technology-35761246
· 產(chǎn)生人臉圖片，達(dá)到以假亂真的效果：

參考：https://arxiv.org/pdf/1710.10196v3.pdf
機(jī)器學(xué)習(xí)還有很多其他的應(yīng)用。在日常生活中，人們甚至常常使用了機(jī)器學(xué)習(xí)所提供的服務(wù)而不自知，例如：我們的郵件系統(tǒng)里的垃圾郵件過濾、我們的車和手機(jī)里的語音識(shí)別、我們手機(jī)里的指紋解鎖……
所有這些了不起的成就，本質(zhì)上，卻是成功求解了一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題。
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對(duì)于圖像分類問題，我們感興趣的其實(shí)是函數(shù)

：

: 圖像→類別
函數(shù)

把圖像映射到該圖像所屬的類別。我們知道

在訓(xùn)練集上的取值，想由此找到對(duì)函數(shù)

的一個(gè)足夠好的逼近。
一般而言，監(jiān)督學(xué)習(xí)(supervised learning)問題，本質(zhì)都是想基于一個(gè)有限的訓(xùn)練集S，給出目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)高效逼近。
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對(duì)于人臉生成問題，其本質(zhì)是逼近并采樣一個(gè)未知的概率分布。在這一問題中，“人臉”是隨機(jī)變量，而我們不知道它的概率分布。然而，我們有“人臉”的樣本：數(shù)量巨大的人臉照片。我們便利用這些樣本，近似得到“人臉”的概率分布，并由此產(chǎn)生新的樣本（即生成人臉）。
一般而言，無監(jiān)督學(xué)習(xí)本質(zhì)就是利用有限樣本，逼近并采樣問題背后未知的概率分布。
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對(duì)于下圍棋的Alphago來說，如果給定了對(duì)手的策略，圍棋的動(dòng)力學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題的解。其最優(yōu)策略滿足Bellman方程。因而Alphago的本質(zhì)便是求解Bellman方程。
一般而言，強(qiáng)化學(xué)習(xí)本質(zhì)上就是求解馬爾可夫過程的最優(yōu)策略。